Calcule os limites com indeterminação.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4-x}{5-\sqrt{x^{2}+9}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^2 + 9}}.
É um limite de uma função com raiz no denominador. Para resolver, vamos primeiro testar a substituição direta e, em seguida, — se desejar uma forma mais “bonita” — racionalizar o denominador.

Passo 2

Substituindo x=1 diretamente:
  • Numerador: 4 - 1 = 3.
  • Denominador: 5 - \sqrt{1^2 + 9} = 5 - \sqrt{10}.
    Como 5 - \sqrt{10}\neq 0, não há indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Logo, podemos usar continuidade.

Passo 3

Pelo argumento acima, o valor do limite é
\frac{3}{5 - \sqrt{10}}.

Passo 4

Se quisermos racionalizar o denominador para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 5 + \sqrt{x^2+9} antes de substituir x=1:
\frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^2+9}} \;\times\; \frac{5 + \sqrt{x^2+9}}{5 + \sqrt{x^2+9}} = \frac{(4 - x)\,(5 + \sqrt{x^2+9})}{25 - (x^2+9)} = \frac{(4 - x)\,(5 + \sqrt{x^2+9})}{16 - x^2}.

Passo 5

Note que 16 - x^2 = (4 - x)(4 + x), então cancelamos 4 - x (válido para x\neq4, e aqui aproximamos de 1):
\frac{5 + \sqrt{x^2+9}}{4 + x}.
Agora substituímos x=1:
\frac{5 + \sqrt{1+9}}{4 + 1} = \frac{5 + \sqrt{10}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{5 + \sqrt{10}}{5}

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