Calcule os limites com indeterminação.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}.
Esse limite tem forma de indeterminação \tfrac{0}{0} e a ideia é usar a racionalização do denominador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta x=4: o numerador fica 4-4=0 e o denominador fica \sqrt{4}-2=2-2=0. Isso confirma a indeterminação \tfrac{0}{0}, então partimos para manipular a expressão.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+2:
\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} =\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} =\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}.

Passo 4

Para x\neq 4 podemos simplificar x-4 no numerador e denominador, obtendo \sqrt{x}+2. Logo o limite original é equivalente a
\lim_{x\to 4}(\sqrt{x}+2).

Passo 5

Bast a substituir x=4 na expressão simplificada:
\sqrt{4}+2 = 2+2 = 4.

Resposta

4

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