Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(d) lim x +infty(x^2+1)^1ln x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x^2+1r)^1ln x
que é uma forma indeterminada do tipo infty^0. Vamos usar a ideia de passar para a potência de e e depois avaliar um limite do tipo inftyinfty.

Passo 2

Reescrevemos
l(x^2+1r)^tfrac1ln x =exp!l(lnl((x^2+1)^tfrac1ln xr)r) =exp!l(tfrac1ln x,ln(x^2+1)r)
Assim a nossa tarefa vira calcular
L=limxtoinftyln(x^2+1)ln x
e então o limite original será exp(L).

Passo 3

Observamos que, quando xtoinfty, temos ln(x^2+1)toinfty e ln xtoinfty. Logo L é da forma tfracinftyinfty, e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando L’Hospital a
limxtoinftyln(x^2+1)ln x
derivamos numerador e denominador:
ddxl[ln(x^2+1)r]=2xx^2+1, ddx[ln x]=1x
Logo,
L =limxtoinfty 2xx^2+11x =limxtoinfty2,x^2x^2+1 =2

Passo 5

Portanto o limite original é
exp(L)=exp(2)=e^2

Resposta

e^2

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