Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão no numerador é
. - Há uma raiz quadrada
, que é definida para ; aqui o limite vai para (ou seja, grande e positivo). - O denominador é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende para ?
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
em potências para facilitar manipular as ordens de grandeza. Lembre-se que
Logo
Então a expressão do limite fica
Isso já ajuda a ver as potências envolvidas: no numerador temos termos com potências
,
e termo constante; no denominador temos
.
Passo 3
Uma técnica padrão e segura para limites no infinito com somas de potências é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
). Vamos fazer essa divisão termo a termo:
Passo 4
Simplificamos as potências em cada fração usando regras de potências (
):
Portanto a expressão é
Passo 5
Agora usamos propriedades de limites: o limite da soma é a soma dos limites (quando cada limite existe), e constantes podem ser puxadas para fora. Precisamos analisar o comportamento de cada termo quando
.
- Para qualquer expoente positivo
vale , porque e seu inverso tende a . Exemplos simples: e . - Aplicando isso:
Passo 6
Somando os limites parciais, obtemos
Portanto o limite buscado é
.
Resposta
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