Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{x}+3 x-10}{x^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt{x}+3x-10}{x^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão no numerador é x\sqrt{x}+3x-10.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x}, que é definida para x\ge 0; aqui o limite vai para +\infty (ou seja, x grande e positivo).
  • O denominador é x^{3}.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende para +\infty?

Passo 2

Primeiro vamos reescrever \sqrt{x} em potências para facilitar manipular as ordens de grandeza. Lembre-se que
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Logo
x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{1+1/2}=x^{3/2}.
Então a expressão do limite fica
\frac{x^{3/2}+3x-10}{x^{3}}.
Isso já ajuda a ver as potências envolvidas: no numerador temos termos com potências x^{3/2}, x^{1} e termo constante; no denominador temos x^{3}.

Passo 3

Uma técnica padrão e segura para limites no infinito com somas de potências é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{3}). Vamos fazer essa divisão termo a termo:
\frac{x^{3/2}+3x-10}{x^{3}} = \frac{x^{3/2}}{x^{3}}+\frac{3x}{x^{3}}-\frac{10}{x^{3}}.

Passo 4

Simplificamos as potências em cada fração usando regras de potências ( x^{a}/x^{b}=x^{a-b}):
\frac{x^{3/2}}{x^{3}}=x^{3/2-3}=x^{-3/2},
\frac{3x}{x^{3}}=3x^{1-3}=3x^{-2},
\frac{10}{x^{3}}=10x^{-3}.
Portanto a expressão é
x^{-3/2}+3x^{-2}-10x^{-3}.

Passo 5

Agora usamos propriedades de limites: o limite da soma é a soma dos limites (quando cada limite existe), e constantes podem ser puxadas para fora. Precisamos analisar o comportamento de cada termo quando x\to+\infty.
  • Para qualquer expoente positivo p>0 vale \lim_{x\to+\infty} x^{-p}=0, porque x^{p}\to+\infty e seu inverso tende a 0. Exemplos simples: \lim_{x\to+\infty} 1/x=0 e \lim_{x\to+\infty} 1/x^{2}=0.
  • Aplicando isso:
\lim_{x\to+\infty} x^{-3/2}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty} 3x^{-2}=3\cdot 0=0,\qquad \lim_{x\to+\infty} (-10x^{-3})=-10\cdot 0=0.

Passo 6

Somando os limites parciais, obtemos
0+0+0=0.
Portanto o limite buscado é 0.

Resposta

0