Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-2 x+1}{2 x^{3}+3 x+2}=

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite quando x tende a 1 da função racional
\frac{x^{4}-2x+1}{2x^{3}+3x+2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador x^{4}-2x+1 e denominador 2x^{3}+3x+2.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • A tarefa: calcular \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-2x+1}{2x^{3}+3x+2} e justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar a substituição direta (avaliar numerador e denominador em x=1) para ver se há indeterminação.
Calcule o numerador em x=1:
1^{4}-2\cdot 1+1 = 1-2+1 = 0.
Calcule o denominador em x=1:
2\cdot 1^{3}+3\cdot 1+2 = 2+3+2 = 7.
Portanto, ao substituir x=1 obtemos a forma \dfrac{0}{7}.

Passo 3

Explicação teórica necessária (didática e simples):
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que, para um polinômio p(x), vale \displaystyle \lim_{x\to a} p(x) = p(a).
  • Se f e g são funções com \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então vale a regra do quociente de limites:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
  • No caso de funções racionais (razão de polinômios), se o denominador não se anula no ponto, pode-se simplesmente substituir para obter o limite.

Passo 4

Aplicando a teoria ao nosso caso:
  • O numerador tende para 0 quando x\to 1, isto é \displaystyle \lim_{x\to 1}(x^{4}-2x+1)=0.
  • O denominador tende para 7 quando x\to 1, isto é \displaystyle \lim_{x\to 1}(2x^{3}+3x+2)=7\neq 0.
    Pelo teorema do quociente de limites (ou pela continuidade da função racional no ponto onde o denominador é não nulo), concluímos que
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-2x+1}{2x^{3}+3x+2}=\frac{0}{7}=0.

Resposta

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