Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(4 x^{2}\right)}{\sin (7 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{\sin\!(7x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é \sin\!\bigl(4x^{2}\bigr).
  • A função no denominador é \sin\!(7x).
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O objetivo é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Vamos usar um resultado básico e superútil de limites: \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Explicando por que isso vale (prova curta por desigualdades, para quem nunca viu): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale
\sin t < t < \tan t.
Dividindo tudo por \sin t obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo as desigualdades (mantendo t pequeno e não nulo) vem
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Essa é a ferramenta que vamos aplicar substituindo t por expressões em x.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica que permita usar o limite anterior. Multiplicando e dividindo por 4x^{2} e por 7x (tudo legítimo desde que x\neq0), obtemos a identidade
\frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{\sin\!(7x)} = \frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{4x^{2}}\cdot\frac{4x^{2}}{7x}\cdot\frac{7x}{\sin\!(7x)}.
Isto é, a razão original foi escrita como produto de três fatores; agora vamos analisar o limite de cada fator quando x\to 0.

Passo 4

Analisar os três fatores separadamente:
  1. Primeiro fator: \displaystyle\frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{4x^{2}}. Aplicando o resultado do passo anterior com t=4x^{2} (observe que t\to 0 quando x\to 0), temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{4x^{2}}=1.
  1. Terceiro fator: \displaystyle\frac{7x}{\sin\!(7x)}. Aplicando o mesmo resultado com t=7x (novamente t\to 0 quando x\to 0), obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{7x}{\sin\!(7x)}=1.
  1. Fator do meio: \displaystyle\frac{4x^{2}}{7x}=\frac{4}{7}\,x. Este é um produto simples em x, então
\lim_{x\to 0}\frac{4x^{2}}{7x}=\lim_{x\to 0}\frac{4}{7}\,x=0.

Passo 5

Agora usamos que, se \lim_{x\to 0}A(x)=A, \lim_{x\to 0}B(x)=B e \lim_{x\to 0}C(x)=C são limites finitos, então
\lim_{x\to 0}A(x)B(x)C(x)=A\cdot B\cdot C.
Aplicando isso aos três fatores acima:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{\sin\!(7x)} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)}{4x^{2}}\right) \left(\lim_{x\to 0}\frac{4x^{2}}{7x}\right) \left(\lim_{x\to 0}\frac{7x}{\sin\!(7x)}\right) = 1\cdot 0\cdot 1 = 0.

Passo 6

Comentário didático rápido (jeito mental de lembrar na prova): para x pequeno, \sin\!\bigl(4x^{2}\bigr)\approx 4x^{2} e \sin\!(7x)\approx 7x. Assim a razão se comporta como \dfrac{4x^{2}}{7x}=\dfrac{4}{7}x, que tende a zero quando x\to 0. Isso é a mesma conclusão que obtivemos rigorosamente acima.

Resposta

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