Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O objetivo é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Vamos usar um resultado básico e superútil de limites:
.
Explicando por que isso vale (prova curta por desigualdades, para quem nunca viu): para vale
Explicando por que isso vale (prova curta por desigualdades, para quem nunca viu): para
Dividindo tudo por
obtemos
Invertendo as desigualdades (mantendo
pequeno e não nulo) vem
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue
. Essa é a ferramenta que vamos aplicar substituindo
por expressões em
.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica que permita usar o limite anterior. Multiplicando e dividindo por
e por
(tudo legítimo desde que
), obtemos a identidade
Isto é, a razão original foi escrita como produto de três fatores; agora vamos analisar o limite de cada fator quando
.
Passo 4
Analisar os três fatores separadamente:
- Primeiro fator:
. Aplicando o resultado do passo anterior com (observe que quando ), temos
- Terceiro fator:
. Aplicando o mesmo resultado com (novamente quando ), obtemos
- Fator do meio:
. Este é um produto simples em , então
Passo 5
Agora usamos que, se
,
e
são limites finitos, então
Aplicando isso aos três fatores acima:
Passo 6
Comentário didático rápido (jeito mental de lembrar na prova): para
pequeno,
e
. Assim a razão se comporta como
, que tende a zero quando
. Isso é a mesma conclusão que obtivemos rigorosamente acima.
Resposta
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