Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt[3]{2+3 x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x - \sqrt[3]{2 + 3x^3}\bigr).
Trata-se de um limite no infinito envolvendo raiz cúbica. Vamos usar fatoração e propriedades de limites.

Passo 2

Reescrevemos a raiz cúbica fatorando x^3 de dentro dela:
\sqrt[3]{2 + 3x^3} = \sqrt[3]{x^3\Bigl(3 + \frac{2}{x^3}\Bigr)} = x \,\sqrt[3]{3 + \frac{2}{x^3}}.
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x - \sqrt[3]{2 + 3x^3} = x\Bigl(1 - \sqrt[3]{3 + \tfrac{2}{x^3}}\Bigr).

Passo 3

Quando x\to+\infty, temos \tfrac{2}{x^3}\to0 e, portanto,
\sqrt[3]{3 + \frac{2}{x^3}}\;\longrightarrow\;\sqrt[3]{3}.
O parêntese fica
1 - \sqrt[3]{3},
que é um número fixo negativo, pois \sqrt[3]{3}>1.

Passo 4

Multiplicar x\to+\infty por uma constante negativa faz o produto divergir para -\infty.

Resposta

-\infty

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