Calcule
, em que
.
Dica: Diagonalize a matriz
.
Dica: Diagonalize a matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular
, sendo
. O conteúdo que vamos usar aqui é a diagonalização de matrizes, que facilita muito o cálculo de potências de uma matriz. Para isso, vamos precisar encontrar uma matriz diagonal que seja similar à matriz
e depois usar essa diagonal para elevar a matriz à oitava potência.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são números que, quando multiplicados por certos vetores (autovetores), deixam a direção desses vetores inalterada. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica de
, que é dada por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular a equação característica:
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação
, encontramos os autovalores:
Assim, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para
, resolvemos
:
Isso nos dá a equação
. Podemos escolher
, assim
. Então, um autovetor para
é:
Passo 6
Para
, resolvemos
:
Isso nos dá
. Podemos escolher
, então
. Um autovetor para
é:
Passo 7
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos diagonalizar a matriz
. Montamos a matriz
com os autovetores como colunas e a matriz diagonal
com os autovalores na diagonal:
A diagonalização é dada por
.
Passo 8
Para calcular
, usamos a propriedade de que
. Primeiro, calculamos
, que é simplesmente elevar cada elemento da diagonal de
à oitava potência:
Passo 9
Agora, precisamos calcular
. A inversa de uma matriz
é dada por:
Onde
. Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 10
Finalmente, calculamos
usando
:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Em seguida, multiplicamos o resultado por
:
Resposta
Então,
.