Calcule A^8, em que A=[ll4 & -3 2 & -1].
Dica: Diagonalize a matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular A^8, sendo A = 4 & -3 2 & -1. O conteúdo que vamos usar aqui é a diagonalização de matrizes, que facilita muito o cálculo de potências de uma matriz. Para isso, vamos precisar encontrar uma matriz diagonal que seja similar à matriz A e depois usar essa diagonal para elevar a matriz à oitava potência.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Autovalores são números que, quando multiplicados por certos vetores (autovetores), deixam a direção desses vetores inalterada. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica de A, que é dada por det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular a equação característica:
A - lambda I = 4 - lambda & -3 2 & -1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
(4 - lambda)(-1 - lambda) - (-3)(2) = (4 - lambda)(-1 - lambda) + 6
Expandindo:
-4 -4lambda + lambda + lambda^2 + 6 = lambda^2 -3lambda +2
Portanto, a equação característica é:
lambda^2 -3lambda +2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação lambda^2 -3lambda +2 = 0, encontramos os autovalores:
lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 2 e lambda2 = 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para lambda1 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
2 & -3 2 & -3 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação 2v1 - 3v2 = 0. Podemos escolher v2 = 2, assim v1 = 3. Então, um autovetor para lambda1=2 é:
v1 = 3 2

Passo 6

Para lambda2 = 1, resolvemos (A - I)v = 0:
3 & -3 2 & -2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá 3v1 - 3v2 = 0. Podemos escolher v2 = 1, então v1 = 1. Um autovetor para lambda2=1 é:
v2 = 1 1

Passo 7

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos diagonalizar a matriz A. Montamos a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
P = 3 & 1 2 & 1, D = 2 & 0 0 & 1
A diagonalização é dada por A = PDP^-1.

Passo 8

Para calcular A^8, usamos a propriedade de que A^n = PD^nP^-1. Primeiro, calculamos D^8, que é simplesmente elevar cada elemento da diagonal de D à oitava potência:
D^8 = 2^8 & 0 0 & 1^8 = 256 & 0 0 & 1

Passo 9

Agora, precisamos calcular P^-1. A inversa de uma matriz 2 times 2 é dada por:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a
Onde P = a & b c & d. Calculando o determinante de P:
det(P) = (3)(1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
Então,
P^-1 = 1 & -1 -2 & 3

Passo 10

Finalmente, calculamos A^8 usando A^8 = PD^8P^-1:
A^8 = 3 & 1 2 & 1 256 & 0 0 & 1 1 & -1 -2 & 3
Primeiro, multiplicamos P por D^8:
3 cdot 256 & 1 cdot 1 2 cdot 256 & 1 cdot 1 = 768 & 1 512 & 1
Em seguida, multiplicamos o resultado por P^-1:
768 & 1 512 & 1 1 & -1 -2 & 3 = 768(1) + 1(-2) & 768(-1) + 1(3) 512(1) + 1(-2) & 512(-1) + 1(3) = 766 & -765 510 & -509

Resposta

Então, A^8 = 766 & -765 510 & -509.

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