Calcule o logaritmo dos seguintes números complexos. Em cada item, determine:
- o valor do logaritmo no ramo principal;
- a forma geral do logaritmo complexo.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
Pede duas coisas:
- o valor do logaritmo no ramo principal (ou seja, o valor principal de logaritmo complexo);
- a forma geral do logaritmo complexo (todas as possíveis ramificações, com o parâmetro inteiro).
Passo 2
Relembrando a definição (de forma direta e prática): para um número complexo escrito em forma polar
onde
é o módulo e
é um argumento de
, qualquer logaritmo complexo é dado por
onde
. Aqui:
-
é o logaritmo real do módulo; -
é um argumento qualquer de ; - o termo
aparece porque a exponencial complexa é periódica com período .
O ramo principal do logaritmo normalmente usa o argumento principalcom . O valor principal é
Passo 3
Calcular o módulo
. Para
temos
Logo
.
Passo 4
Calcular o argumento. Uma forma prática: calcular
e ajustar conforme o quadrante. Aqui
e
, então
e
. Porém o par
está no segundo quadrante, onde o argumento deve ser
se usar a versão básica de arctan, ou mais direto: o argumento correto é
porque no segundo quadrante o ângulo entre o eixo positivo
e o ponto é
. Esse valor está dentro do intervalo
, então é o argumento principal:
Passo 5
Montar o logaritmo no ramo principal usando
. Substituindo os valores:
Expliquei acima o significado de cada termo:
vem do módulo e
vem do argumento principal.
Passo 6
Escrever a forma geral (multivalorada). A partir da fórmula geral
e escolhendo
como um argumento, obtemos todas as ramificações:
Isso significa que somando quaisquer múltiplos inteiros de
ao argumento obtemos todas as possíveis folhas do logaritmo complexo.
Passo 7
Breve verificação intuitiva (para ficar tranquilo): escrevendo
em forma exponencial
aplicando exponencial ao log obtém-se de volta
:
pois
. Tudo consistente.