Calcule o logaritmo dos seguintes números complexos. Em cada item, determine:
  • o valor do logaritmo no ramo principal;
  • a forma geral do logaritmo complexo.
    (b) z=-1+i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = -1 + i.
Pede duas coisas:
  • o valor do logaritmo no ramo principal (ou seja, o valor principal de logaritmo complexo);
  • a forma geral do logaritmo complexo (todas as possíveis ramificações, com o parâmetro inteiro).

Passo 2

Relembrando a definição (de forma direta e prática): para um número complexo escrito em forma polar
z = r e^{i\theta},
onde \;r=|z|>0\; é o módulo e \theta é um argumento de z, qualquer logaritmo complexo é dado por
\log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),
onde k\in\mathbb{Z}. Aqui:
  • \ln r é o logaritmo real do módulo;
  • \theta é um argumento qualquer de z;
  • o termo 2k\pi aparece porque a exponencial complexa é periódica com período 2\pi.
    O ramo principal do logaritmo normalmente usa o argumento principal \operatorname{Arg} z com \operatorname{Arg} z\in(-\pi,\pi]. O valor principal é
\operatorname{Log} z = \ln r + i\,\operatorname{Arg} z.

Passo 3

Calcular o módulo r=|z|. Para z=-1+i temos
r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
Logo \ln r = \ln\!\big(\sqrt{2}\big) = \tfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 4

Calcular o argumento. Uma forma prática: calcular \arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big) e ajustar conforme o quadrante. Aqui x=-1 e y=1, então \tfrac{y}{x}=\tfrac{1}{-1}=-1 e \arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4}. Porém o par (x,y)=(-1,1) está no segundo quadrante, onde o argumento deve ser \theta=\pi+\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big) se usar a versão básica de arctan, ou mais direto: o argumento correto é
\theta = \frac{3\pi}{4},
porque no segundo quadrante o ângulo entre o eixo positivo x e o ponto é 135^\circ = \tfrac{3\pi}{4}. Esse valor está dentro do intervalo (-\pi,\pi], então é o argumento principal:
\operatorname{Arg}(-1+i) = \frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Montar o logaritmo no ramo principal usando \operatorname{Log} z = \ln r + i\,\operatorname{Arg} z. Substituindo os valores:
\operatorname{Log}(-1+i) = \frac{1}{2}\ln 2 + i\frac{3\pi}{4}.
Expliquei acima o significado de cada termo: \tfrac{1}{2}\ln 2 vem do módulo e i\tfrac{3\pi}{4} vem do argumento principal.

Passo 6

Escrever a forma geral (multivalorada). A partir da fórmula geral \log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi) e escolhendo \theta=\tfrac{3\pi}{4} como um argumento, obtemos todas as ramificações:
\log(-1+i) = \frac{1}{2}\ln 2 + i\!\left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso significa que somando quaisquer múltiplos inteiros de 2\pi ao argumento obtemos todas as possíveis folhas do logaritmo complexo.

Passo 7

Breve verificação intuitiva (para ficar tranquilo): escrevendo z em forma exponencial
-1+i = \sqrt{2}\,e^{i\,3\pi/4},
aplicando exponencial ao log obtém-se de volta z:
\exp\!\left(\frac{1}{2}\ln 2 + i\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right) = \sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}e^{i2k\pi} = \sqrt{2}\,e^{i3\pi/4} = -1+i,
pois e^{i2k\pi}=1. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Log}(-1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\,\tfrac{3\pi}{4}
\displaystyle \log(-1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\!\left(\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}