Calcule os logaritmos, utilizando a definição:
\log _{\frac{10}{3}} 0,3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{\frac{10}{3}} 0,3. Informações dadas:
  • a base é \dfrac{10}{3};
  • o argumento é 0,3.
    Observação sobre validade: a base \dfrac{10}{3} é positiva e diferente de 1, e o argumento 0,3 é positivo, portanto o logaritmo está bem definido.

Passo 2

Lembração da definição de logaritmo (a parte teórica que você precisa dominar na prova): para números reais positivos a e b com a\neq1, a definição diz:
y=\log_{a} b \quad\Longleftrightarrow\quad a^{y}=b.
Aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento, e y é o expoente tal que a^{y}=b. Vou usar essa definição passo a passo.

Passo 3

Coloco a incógnita como
x=\log_{\frac{10}{3}} 0,3.
Pela definição, isso significa que
\left(\dfrac{10}{3}\right)^{x}=0,3.

Passo 4

Reescrevo 0,3 como fração para ver relações de potência:
0,3=\dfrac{3}{10}.
Agora observo que
\left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{10}{3}}=\dfrac{3}{10}=0,3.
Ou seja, 0,3 é exatamente \left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1}.

Passo 5

Como \left(\dfrac{10}{3}\right)^{x}=0,3=\left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1} e a função exponencial com base fixa é injetora (expoentes iguais geram o mesmo valor), segue que
x=-1.
Verificação rápida (pra ter confiança): \left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{10}=0,3, então a igualdade está correta.

Resposta

-1