Calcule o maior volume que um sólido gerado pela rotação de um triângulo de perímetro 2 p em torno de um eixo que contém um de seus lados pode ter.

Passo 1

O enunciado pede o máximo do volume de um sólido obtido ao girar um triângulo de perímetro 2p em torno de um eixo que coincide com um de seus lados. \r
Conteúdo: cálculo de volumes de revolução usando o Teorema de Pappus (o volume gerado por um área plana é igual à área vezes a distância percorrida pelo seu centróide).

Passo 2

Seja o lado sobre o eixo de rotação de comprimento c e a altura do triângulo relativa a esse lado igual a h$; o centróide do triângulo fica a uma distância \(d=h/3 do eixo. Pelo Teorema de Pappus,\r
V = (\text{área do triângulo}) \times (2\pi d).áâ\r
Como a área é \tfrac12 c\,h e d=h/3, obtemos\r
V = \frac12\,c\,h \;\times\;2\pi\frac{h}{3} \;=\;\frac{\pi\,c\,h^{2}}{3}.)

Passo 3

Para eliminar h em favor dos lados, use a fórmula de Heron. Se os outros dois lados valem a e b e semiperímetro p=(a+b+c)/2, a área é \r
S = \sqrt{p\,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}, \r
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h = \frac{2S}{c} = \frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\r
Substituindo em V=\pi c h^2/3 dá\r
V = \frac{\pi\,c}{3}\;\frac{4\,p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}} = \frac{4\pi}{3}\,\frac{p\,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}{c}.

Passo 4

Como a expressão é simétrica em a,b, pelo máximo simétrico vale a=b. Então \r
c = 2p - 2a,\r
e\r
V(a) = \frac{4\pi}{3}\,\frac{p\,[p-a]^{2}[\,a + a - p\,]}{2p-2a} = \frac{2\pi\,p}{3}\,(p-a)\,(2a-p),\r
com domínio p/2<a<p (triângulo não degenerado).

Passo 5

Para maximizar V(a) calculemos\r
f(a) = (p-a)\,(2a-p), \quad f'(a) = 3p - 4a = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{3p}{4}.\r
Então c = 2p - 2\cdot\frac{3p}{4} = \frac{p}{2}. O valor máximo de f é\r
f\!\Bigl(\tfrac{3p}{4}\Bigr) = \bigl(p - \tfrac{3p}{4}\bigr)\bigl(2\cdot\tfrac{3p}{4}-p\bigr) = \frac{p}{4}\cdot\frac{p}{2} = \frac{p^{2}}{8}.\r
Logo\r
V_{\max} = \frac{2\pi\,p}{3}\;\frac{p^{2}}{8} = \frac{\pi\,p^{3}}{12}.

Resposta

O volume máximo é \r
\boxed{\frac{\pi\,p^{3}}{12}}.

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