Calcule o maior volume que um sólido gerado pela rotação de um triângulo de perímetro 2 p em torno de um eixo que contém um de seus lados pode ter.
Passo 1
O enunciado pede o máximo do volume de um sólido obtido ao girar um triângulo de perímetro
em torno de um eixo que coincide com um de seus lados. \r
Conteúdo: cálculo de volumes de revolução usando o Teorema de Pappus (o volume gerado por um área plana é igual à área vezes a distância percorrida pelo seu centróide).
Conteúdo: cálculo de volumes de revolução usando o Teorema de Pappus (o volume gerado por um área plana é igual à área vezes a distância percorrida pelo seu centróide).
Passo 2
Seja o lado sobre o eixo de rotação de comprimento
e a altura do triângulo relativa a esse lado igual a
do eixo. Pelo Teorema de Pappus,\r
Como a área é
e
, obtemos\r
Passo 3
Para eliminar
em favor dos lados, use a fórmula de Heron. Se os outros dois lados valem
e
e semiperímetro
, a área é \r
logo \r
Substituindo em
dá\r
Passo 4
Como a expressão é simétrica em
, pelo máximo simétrico vale
. Então \r
e\r
com domínio
(triângulo não degenerado).
Passo 5
Para maximizar
calculemos\r
Então
. O valor máximo de
é\r
Logo\r
Resposta
O volume máximo é \r