Calcule a massa da região R limitada por:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1+z^{2}, \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=2 z^{2} com \delta(x, y, z)=1;

Passo 1

O enunciado pede a massa da região R limitada pelas superfícies
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1+z^{2}
e
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=2\,z^{2},
sabendo que a densidade é constante \delta(x,y,z)=1. Como a densidade é unifor­me, a massa coincide com o volume de R. Vamos usar o método de fatias transversais em planos z=\text{const}.

Passo 2

Para achar os limites de z, igualamos as duas superfícies:
1+z^{2}=2z^{2} \quad\Longrightarrow\quad z^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad z=\pm1.
Logo R existe para -1\le z\le1.

Passo 3

Num plano z fixo, a região em xy é o conjunto de pontos entre as elipses
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=2z^{2} \quad\text{(interna)}
e
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1+z^{2} \quad\text{(externa).}
Para uma elipse genérica \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}=C, os semieixos são a=2\sqrt{C} e b=3\sqrt{C}.
  • Na elipse interna C=2z^{2}:
    a_{1}=2\sqrt{2}\,\lvert z\rvert,\;b_{1}=3\sqrt{2}\,\lvert z\rvert.
  • Na elipse externa C=1+z^{2}:
    a_{2}=2\sqrt{1+z^{2}},\;b_{2}=3\sqrt{1+z^{2}}.

Passo 4

A área de uma elipse é
A=\pi a\,b.
Logo, no plano z, as áreas são
A_{\rm ext}(z) =\pi\,a_{2}b_{2} =\pi\,(2\sqrt{1+z^{2}})\,(3\sqrt{1+z^{2}}) =6\pi\,(1+z^{2}),
A_{\rm int}(z) =\pi\,a_{1}b_{1} =\pi\,(2\sqrt{2}\,\lvert z\rvert)\,(3\sqrt{2}\,\lvert z\rvert) =6\pi\,(2z^{2}) =12\pi\,z^{2}.
A área da região anelar é
A(z)=A_{\rm ext}(z)-A_{\rm int}(z) =6\pi\bigl((1+z^{2})-2z^{2}\bigr) =6\pi\,(1-z^{2}).

Passo 5

O volume (e portanto a massa) é
\int_{z=-1}^{1}A(z)\,dz =6\pi\int_{-1}^{1}(1-z^{2})\,dz =6\pi\Bigl[\,z-\tfrac{z^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =6\pi\Bigl((1-\tfrac13)-(-1+\tfrac13)\Bigr) =6\pi\cdot\frac{4}{3} =8\pi.

Resposta

A massa da região R é 8\pi.

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