Q5: Calcule a matriz
, sabendo que:
-
,
- Núcleo
e
- Imagem
.
A entrada
vale:
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Informação dada 1:
. - Informação dada 2:
. - Informação dada 3:
.
Pergunta do enunciado: qual é o valor da entrada
? (Escolher entre as alternativas listadas.)
Passo 2
Interpretar as dimensões e implicações dessas informações (sem resolver ainda). Vou extrair consequências diretas e importantes:
- Os vetores que geram
são dois vetores independentes em , logo . - Pela fórmula de posto-nulidade (teorema do núcleo e imagem) em
, vale . Como , segue . - A imagem tem dimensão 1 e é gerada pelo vetor
. Ou seja, toda coluna de está em .
Passo 3
Modelar matrizes de posto
. Explicação didática: qualquer matriz
de posto
pode ser escrita como produto externo de um vetor coluna
e um vetor linha
:
Isto significa que, para todo
,
ou seja,
aplica
calculando primeiro o escalar
e depois escalando o vetor
. Assim
e
.
No nosso caso sabemos que
com
. Logo podemos escolher
para algum escalar
. E o vetor linha
deve satisfazer
, isto é,
deve ser ortogonal a cada gerador de
.
Passo 4
Encontrar um vetor
(não nulo) que satisfaça a ortogonalidade com os vetores do núcleo. Escrever as equações:
- Dot com
:
- Dot com
:
Resolver essas equações passo a passo:
Da primeira equação vem
Da segunda equação vem
Portanto,
tem a forma
com
. Podemos escolher
para um representante conveniente, ou manter o fator escalar livre; como veremos, o produto escalar global entre
e
pode ser absorvido por um escalar comum.
Passo 5
Usar a representação geral
com representantes padrão. Tomemos os vetores base:
Como explicado, em geral
para algum escalar
(esse
reúne os possíveis fatores
e
discutidos antes). As entradas de
são então
Passo 6
Usar a entrada fornecida
para determinar o escalar
. Calcular
na forma
:
-
. -
.
Logo
Sabendo que
, obtemos
Passo 7
Calcular finalmente
usando
. A fórmula é
Substituindo valores:
e
, temos
Passo 8
Checagem rápida (intuitiva): a matriz construída tem posto
, imagem gerada por
e núcleo ortogonal a
; o uso de
ajusta magnitudes para coincidir com a entrada dada. O valor encontrado é consistente com tudo isso.
Resposta
(E) 12