Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{23}=-24,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,-1,0),(-3,0,1)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(1,-2,-1)\}.
A entrada a_{32} vale:
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Informação dada 1: a_{23}=-24.
  • Informação dada 2: \ker A=\operatorname{span}\{(-3,-1,0),(-3,0,1)\}.
  • Informação dada 3: \operatorname{Im} A=\operatorname{span}\{(1,-2,-1)\}.
Pergunta do enunciado: qual é o valor da entrada a_{32}? (Escolher entre as alternativas listadas.)

Passo 2

Interpretar as dimensões e implicações dessas informações (sem resolver ainda). Vou extrair consequências diretas e importantes:
  • Os vetores que geram \ker A são dois vetores independentes em \mathbb{R}^3, logo \dim(\ker A)=2.
  • Pela fórmula de posto-nulidade (teorema do núcleo e imagem) em \mathbb{R}^3, vale \dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=3. Como \dim(\ker A)=2, segue \operatorname{rank}(A)=1.
  • A imagem tem dimensão 1 e é gerada pelo vetor v_0=(1,-2,-1). Ou seja, toda coluna de A está em \operatorname{span}\{v_0\}.

Passo 3

Modelar matrizes de posto 1. Explicação didática: qualquer matriz A de posto 1 pode ser escrita como produto externo de um vetor coluna v\in\mathbb{R}^3 e um vetor linha f^T\in\mathbb{R}^{1\times 3}:
A = v f^T.
Isto significa que, para todo x\in\mathbb{R}^3,
A x = v (f^T x),
ou seja, A aplica x calculando primeiro o escalar f^T x e depois escalando o vetor v. Assim \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{v\} e \ker A=\{x\mid f^T x=0\}.
No nosso caso sabemos que \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{v_0\} com v_0=(1,-2,-1). Logo podemos escolher
v=\lambda v_0=\lambda(1,-2,-1)
para algum escalar \lambda\neq 0. E o vetor linha f^T deve satisfazer \ker(f^T)=\ker(A), isto é, f deve ser ortogonal a cada gerador de \ker A.

Passo 4

Encontrar um vetor f=(\alpha,\beta,\gamma) (não nulo) que satisfaça a ortogonalidade com os vetores do núcleo. Escrever as equações:
  • Dot com (-3,-1,0):
-3\alpha -\beta +0\gamma =0.
  • Dot com (-3,0,1):
-3\alpha +0\beta +\gamma =0.
Resolver essas equações passo a passo:
Da primeira equação vem
-3\alpha -\beta =0 \quad\Rightarrow\quad \beta = -3\alpha.
Da segunda equação vem
-3\alpha +\gamma =0 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 3\alpha.
Portanto, f tem a forma
f=\alpha(1,-3,3),
com \alpha\neq 0. Podemos escolher \alpha=1 para um representante conveniente, ou manter o fator escalar livre; como veremos, o produto escalar global entre v e f pode ser absorvido por um escalar comum.

Passo 5

Usar a representação geral A = v f^T com representantes padrão. Tomemos os vetores base:
v_0=(1,-2,-1),\qquad f_0=(1,-3,3).
Como explicado, em geral
A = s\; v_0 f_0^T
para algum escalar s (esse s reúne os possíveis fatores \lambda e \alpha discutidos antes). As entradas de A são então
a_{ij} = s\,(v_0)_i (f_0)_j.

Passo 6

Usar a entrada fornecida a_{23}=-24 para determinar o escalar s. Calcular a_{23} na forma s v_0 f_0^T:
  • (v_0)_2 = -2.
  • (f_0)_3 = 3.
Logo
a_{23} = s\cdot (v_0)_2 \cdot (f_0)_3 = s\cdot (-2)\cdot 3 = -6s.
Sabendo que a_{23}=-24, obtemos
-6s = -24 \quad\Rightarrow\quad s = 4.

Passo 7

Calcular finalmente a_{32} usando s=4. A fórmula é
a_{32} = s\cdot (v_0)_3 \cdot (f_0)_2.
Substituindo valores: (v_0)_3=-1 e (f_0)_2=-3, temos
a_{32} = 4\cdot (-1)\cdot (-3) = 4\cdot 3 = 12.

Passo 8

Checagem rápida (intuitiva): a matriz construída tem posto 1, imagem gerada por v_0 e núcleo ortogonal a f_0; o uso de s ajusta magnitudes para coincidir com a entrada dada. O valor encontrado é consistente com tudo isso.

Resposta

(E) 12