Calcule a e b de modo que B=\left(\begin{array}{ll}1 & b \\\ b & 1\end{array}\right) seja a inversa da matriz A=\left(\begin{array}{cc}a & 0 \\\\ 0 & a\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a e b tais que
B=\begin{pmatrix}1 & b\\[6pt] b & 1\end{pmatrix}
seja a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix}a & 0\\[3pt]0 & a\end{pmatrix}.
Como B=A^{-1}, basta exigir A\,B=I, onde
I=\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculemos o produto
A\,B =\begin{pmatrix}a & 0\\[3pt]0 & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & b\\[3pt]b & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\cdot1 + 0\cdot b & a\cdot b + 0\cdot1\\[6pt] 0\cdot1 + a\cdot b & 0\cdot b + a\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & a\,b\\[3pt]a\,b & a\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para que A\,B=I\) vale \[\begin{cases} a = 1,\\[3pt] a\,b = 0. \end{cases}
Além disso, como só existe inversa se a\neq0\], concluímos que \(b=0 e a=1.]

Resposta

a=1 e b=0.

Exercícios relacionados