Calcule, para n=1,2,3, \ldots :
\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n};

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular, para n=1,2,3,\ldots,
\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n}.
Informações dadas:
  • O numerador é 1-i.
  • O denominador é 1+i.
  • n é um inteiro positivo (qualquer n\ge1).
    A tarefa é determinar uma expressão fechada (em função de n) para essa potência.

Passo 2

Vamos simplificar a fração base \dfrac{1-i}{1+i} antes de elevar à potência. Uma técnica simples é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter um denominador real. O conjugado de 1+i é 1-i. Então:
\frac{1-i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
(1-i)^2 = 1 -2i + i^2 = 1 -2i -1 = -2i,
(1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2.
Portanto
\frac{1-i}{1+i} = \frac{-2i}{2} = -i.
Comentário didático: multiplicar pelo conjugado faz o denominador virar 1+1=2, que é o quadrado do módulo de 1+i. Isso é uma técnica padrão para simplificar frações complexas.

Passo 3

Agora já temos a base simplificada:
\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n}=(-i)^{n}.
É útil expressar -i em forma trigonométrica/exponencial para poder elevar facilmente. Vamos ver o módulo e o argumento de -i.
  • Módulo: |-i|=1.
  • Argumento: -i está no eixo imaginário negativo, cujo argumento principal é -\dfrac{\pi}{2} (poderia também usar \tfrac{3\pi}{2}, mas usaremos o valor principal -\tfrac{\pi}{2}).
    Logo, em forma exponencial:
-i = e^{-i\pi/2} = \cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right).
Explicação didática: qualquer número complexo z com módulo r e argumento \theta pode ser escrito como z=r e^{i\theta}. Aqui r=1 e \theta=-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de potências para a forma exponencial (ou o teorema de De Moivre para a forma trigonométrica). Se z=e^{i\theta}, então z^{n}=e^{i n\theta}. Assim:
(-i)^{n}=\left(e^{-i\pi/2}\right)^{n}=e^{-i n\pi/2}.
Voltando à forma trigonométrica:
(-i)^{n}=\cos\!\left(-\frac{n\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\frac{n\pi}{2}\right).
Comentário didático: isso é prático porque transforma a multiplicação repetida em multiplicação do ângulo por n.

Passo 5

Podemos também dar uma forma bem explícita e simples usando que as potências de -i são periódicas de período 4. Vamos calcular os primeiros quatro valores para ver o ciclo:
(-i)^1=-i,
(-i)^2=(-i)\cdot(-i)=-1,
(-i)^3 = (-i)^2\cdot(-i) = -1\cdot(-i)=i,
(-i)^4 = ((-i)^2)^2 = (-1)^2=1.
Portanto os valores repetem a cada 4 passos. Em termos de congruências:
  • Se n\equiv 0\pmod{4} então (-i)^n=1.
  • Se n\equiv 1\pmod{4} então (-i)^n=-i.
  • Se n\equiv 2\pmod{4} então (-i)^n=-1.
  • Se n\equiv 3\pmod{4} então (-i)^n=i.

Resposta

\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n}=(-i)^{n}=e^{-i n\pi/2}=\cos\!\left(-\frac{n\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\frac{n\pi}{2}\right).
\text{Equivalente em forma periódica:}ó
\begin{aligned} n\equiv 0\pmod{4}&\Rightarrow \left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{n}=1,\\\ n\equiv 1\pmod{4}&\Rightarrow \left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{n}=-i,\\\ n\equiv 2\pmod{4}&\Rightarrow \left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{n}=-1,\\\ n\equiv 3\pmod{4}&\Rightarrow \left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{n}=i. \end{aligned}