Calcule, para
:
;
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular, para
,
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. -
é um inteiro positivo (qualquer ).
A tarefa é determinar uma expressão fechada (em função de) para essa potência.
Passo 2
Vamos simplificar a fração base
antes de elevar à potência. Uma técnica simples é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter um denominador real. O conjugado de
é
. Então:
Calculemos numerador e denominador separadamente:
Portanto
Comentário didático: multiplicar pelo conjugado faz o denominador virar
, que é o quadrado do módulo de
. Isso é uma técnica padrão para simplificar frações complexas.
Passo 3
Agora já temos a base simplificada:
É útil expressar
em forma trigonométrica/exponencial para poder elevar facilmente. Vamos ver o módulo e o argumento de
.
- Módulo:
. - Argumento:
está no eixo imaginário negativo, cujo argumento principal é (poderia também usar , mas usaremos o valor principal ).
Logo, em forma exponencial:
Explicação didática: qualquer número complexo
com módulo
e argumento
pode ser escrito como
. Aqui
e
.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de potências para a forma exponencial (ou o teorema de De Moivre para a forma trigonométrica). Se
, então
. Assim:
Voltando à forma trigonométrica:
Comentário didático: isso é prático porque transforma a multiplicação repetida em multiplicação do ângulo por
.
Passo 5
Podemos também dar uma forma bem explícita e simples usando que as potências de
são periódicas de período
. Vamos calcular os primeiros quatro valores para ver o ciclo:
Portanto os valores repetem a cada
passos. Em termos de congruências:
- Se
então . - Se
então . - Se
então . - Se
então .