Calcule o número mínimo de estágios N necessários em uma cascata para enriquecer uma amostra natural de boro ( 19,9 \%{ }^{10} \mathrm{~B} ) até 80 \% atômico de { }^{10} \mathrm{~B}, considerando \alpha=1,005.

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de estágios N numa cascata de enriquecimento isotópico que leva a fração atômica de {}^{10}\mathrm{B} de x_F=19{,}9\% 0{,}199 até x_P=80\% 0{,}80, sabendo que o fator de separação em cada estágio é \alpha=1{,}005. Para resolver, vamos usar a definição de razão isotópica e o fato de que cada estágio multiplica essa razão por \alpha.

Passo 2

Definimos a razão isotópica
R = \frac{x}{1-x}
onde x é a fração atômica de {}^{10}\mathrm{B}. Num único estágio, a razão de saída R_{\text{out}} relaciona-se à de entrada R_{\text{in}} por
R_{\text{out}} = \alpha\,R_{\text{in}}.
Após N estágios,
R_P = \alpha^N\,R_F,
onde R_F e R_P são as razões do feed e do produto, respectivamente.

Passo 3

Isolando N na expressão \alpha^N = R_P/R_F, temos
N = \frac{\ln\bigl(R_P/R_F\bigr)}{\ln(\alpha)}.

Passo 4

Calculamos
R_F = \frac{0{,}199}{1 - 0{,}199} = \frac{0{,}199}{0{,}801}\approx 0{,}2484, \qquad R_P = \frac{0{,}80}{1 - 0{,}80} = \frac{0{,}80}{0{,}20} = 4.
Logo
\frac{R_P}{R_F} \approx \frac{4}{0{,}2484}\approx 16{,}11, \quad \ln\bigl(R_P/R_F\bigr)\approx \ln(16{,}11)\approx 2{,}7794, \quad \ln(\alpha)=\ln(1{,}005)\approx 0{,}0049875.
Substituindo em N:
N \approx \frac{2{,}7794}{0{,}0049875}\approx 557{,}2.

Passo 5

Como N deve ser inteiro e precisamos atingir pelo menos 80\%, arredondamos para cima:
N_{\min}=558\text{ estágios.}á

Resposta

N=558 estágios.

Exercícios relacionados