Calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} onde \mathbf{F}(x, y, z)=(y,-x, z) e C é o círculo x^{2}+y^{2}=1, z=0, orientado no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha fechada \displaystyle \oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} onde:
  • \mathbf{F}(x,y,z) = (y,-x,z).
  • C é o círculo dado por x^{2}+y^{2}=1,\\ z=0, orientado no sentido anti-horário visto de cima.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O caminho C é o círculo de raio 1 no plano z=0, centrado na origem.
  • A orientação “anti-horário visto de cima” corresponde a percorrer o círculo no sentido trigonométrico (ângulo t crescendo).
  • A integral pedida é a circulação do campo vetorial \mathbf{F} ao longo de C.

Passo 2

Escolha do método: o jeito mais direto aqui é parametrizar o círculo e calcular a integral de linha pela definição
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando essa fórmula de forma didática:
  • \mathbf{r}(t) é uma parametrização do caminho C, com t variando de a até b.
  • \mathbf{r}'(t)\,dt é o elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva.
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é a projeção do campo na direção do deslocamento; integrar isso dá a circulação total.
    Esse método é simples porque o círculo tem uma parametrização padrão e o cálculo fica direto.

Passo 3

Parametrização do círculo C: como o raio é 1 e a orientação é anti-horária, use
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\\ \sin t,\\\ 0), \qquad 0\le t\le 2\pi.
Calcule a derivada:
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0).
Aqui:
  • x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, z(t)=0.
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente à curva que indica direção e velocidade do movimento.

Passo 4

Avalie o campo ao longo da curva substituindo x=\cos t, y=\sin t, z=0:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \big(\sin t,\\\ -\cos t,\\\ 0\big).
Expliquei: como \mathbf{F}(x,y,z)=(y,-x,z), basta trocar x e y pelas funções da parametrização.

Passo 5

Calcule o produto interno \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = (\sin t)(-\sin t) + (-\cos t)(\cos t) + 0\cdot 0.
Simplificando termo a termo:
(\sin t)(-\sin t) = -\sin^{2}t,\qquad (-\cos t)(\cos t) = -\cos^{2}t,
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\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = -\sin^{2}t - \cos^{2}t = -1,
porque vale a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 6

Agora monta-se a integral de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} \big(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\big)\,dt = \int_{0}^{2\pi} (-1)\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{2\pi} (-1)\,dt = -\big[t\big]_{0}^{2\pi} = -(2\pi-0) = -2\pi.

Passo 7

(Verificação alternativa — compreensão extra) Podemos checar o resultado usando o Teorema de Green na forma planar (já que estamos em z=0 e o campo tem terceira componente nula na curva):
  • Escrevendo \mathbf{F}=(P,Q,0) com P=y e Q=-x, o rotacional vertical é \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} = (-1)-1=-2.
  • A circulação é então \iint_{D} \big(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\big)\,dA = (-2)\cdot \text{Area}(D).
  • A região D é o disco unitário, com área \pi\cdot 1^{2}=\pi. Assim a circulação é -2\pi, confirmando o cálculo por parametrização.

Resposta

-2\pi