Calcule
onde
e
é o círculo
, orientado no sentido anti-horário visto de cima.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha fechada
onde:
-
. -
é o círculo dado por , orientado no sentido anti-horário visto de cima.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O caminho
é o círculo de raio no plano , centrado na origem. - A orientação “anti-horário visto de cima” corresponde a percorrer o círculo no sentido trigonométrico (ângulo
crescendo). - A integral pedida é a circulação do campo vetorial
ao longo de .
Passo 2
Escolha do método: o jeito mais direto aqui é parametrizar o círculo e calcular a integral de linha pela definição
Explicando essa fórmula de forma didática:
-
é uma parametrização do caminho , com variando de até . -
é o elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva. -
é a projeção do campo na direção do deslocamento; integrar isso dá a circulação total.
Esse método é simples porque o círculo tem uma parametrização padrão e o cálculo fica direto.
Passo 3
Parametrização do círculo
: como o raio é
e a orientação é anti-horária, use
Calcule a derivada:
Aqui:
-
, , . -
é o vetor tangente à curva que indica direção e velocidade do movimento.
Passo 4
Avalie o campo ao longo da curva substituindo
,
,
:
Expliquei: como
, basta trocar
e
pelas funções da parametrização.
Passo 5
Calcule o produto interno
:
Simplificando termo a termo:
logo
porque vale a identidade trigonométrica
.
Passo 6
Agora monta-se a integral de
a
:
Calcule a integral:
Passo 7
(Verificação alternativa — compreensão extra) Podemos checar o resultado usando o Teorema de Green na forma planar (já que estamos em
e o campo tem terceira componente nula na curva):
- Escrevendo
com e , o rotacional vertical é . - A circulação é então
. - A região
é o disco unitário, com área . Assim a circulação é , confirmando o cálculo por parametrização.