Calcule ointC(e^-x^3 / 3-y z) d x+(e^-y^3 / 3+x z+2 x) d y+(e^-z^3 / 3+5) d z, onde C é dada por r(t)=(cos t, sen t, 2), t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada . A integral envolve funções de , e , e a curva é definida pela parametrização para de a . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva . A parametrização descreve um círculo no plano com raio 1. Isso significa que , e para todo .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = -sen t, dydt = cos t, dzdt = 0 , e em relação a , já que vamos precisar delas para substituir na integral:

Passo 4

Com as derivadas, podemos expressar dx = -sen t , dt, dy = cos t , dt, dz = 0 , dt , e em termos de :

Passo 5

Substituindo e^-x^3/3 - yz = e^-(cos t)^3 / 3 - (sen t)(2) , e e^-y^3/3 + xz + 2x = e^-(sen t)^3 / 3 + (cos t)(2) + 2cos t = e^-(sen t)^3 / 3 + 4cos t na função vetorial da integral, temos:
e^-z^3/3 + 5 = e^-(2)^3 / 3 + 5 = e^-8/3 + 5

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral de linha:
ointC (e^-x^3/3 - yz) dx + (e^-y^3/3 + xz + 2x) dy + (e^-z^3/3 + 5) dz

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 8

Observando os termos da integral:
  • As expressões envolvendo e são integrais que, em geral, não têm antiderivadas elementares, mas considerando a simetria e as propriedades periódicas do seno e cosseno em intervalos completos, essas integrais se cancelam.
  • As integrais de e em um período a são conhecidas.

Passo 9

Calculando as integrais conhecidas:
integral0^2pi sen^2 t , dt = integral0^2pi cos^2 t , dt = pi

Passo 10

Somando todos os termos:
(-termos que se cancelam) + 2pi + 4pi = 6pi

Resposta

A integral vale .

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