Calcule
onde
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada
. A integral envolve funções de
,
e
, e a curva
é definida pela parametrização para
de
a
. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva
. A parametrização descreve um círculo no plano
com raio 1. Isso significa que
, e
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
, já que vamos precisar delas para substituir na integral:
Passo 4
Com as derivadas, podemos expressar
,
e
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
, e
na função vetorial da integral, temos:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral de linha:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 8
Observando os termos da integral:
- As expressões envolvendo e são integrais que, em geral, não têm antiderivadas elementares, mas considerando a simetria e as propriedades periódicas do seno e cosseno em intervalos completos, essas integrais se cancelam.
- As integrais de e
em um período a são conhecidas.
Passo 9
Calculando as integrais conhecidas:
Passo 10
Somando todos os termos:
Resposta
A integral vale
.