Calcule integralgamma x d x+y d y+z d z onde gamma é o segmento de extremidades (1,2,1) e (0,0,0), percorrido no sentido de (1,2,1) para (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma x,dx + y,dy + z,dz
onde gamma é o segmento que vai de (1,2,1) a (0,0,0). O conteúdo envolve reconhecer uma 1-forma exata e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Note que a 1-forma omega = x,dx + y,dy + z,dz é exata, pois existe uma função potencial
Phi(x,y,z) = tfrac12l(x^2 + y^2 + z^2r)
tal que dPhi = x,dx + y,dy + z,dz.

Passo 3

Pelo teorema fundamental para integrais de linha de formas exatas, tem-se
integralgamma dPhi = Phil(ponto finalr) - Phil(ponto inicialr)
Aqui o ponto inicial é (1,2,1) e o ponto final é (0,0,0).

Passo 4

Calculando o potencial nesses pontos:
Phi(0,0,0) = tfrac12(0^2+0^2+0^2) = 0, Phi(1,2,1) = tfrac12(1^2+2^2+1^2) = tfrac12cdot6 = 3
Logo
integralgamma x,dx+y,dy+z,dz = 0 - 3 = -3

Resposta

-3

Exercícios relacionados