Calcule \partial z / \partial x e \partial z / \partial y se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada:
x z^{2}+2 x^{2} y-4 y^{2} z+3 y-2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita que relaciona x, y e z:
x z^{2}+2 x^{2} y-4 y^{2} z+3 y-2=0.
Pede-se calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}, onde z=f(x,y) é definida por essa equação (ou seja, z depende de x e y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função z não está isolada; ela aparece dentro de termos como z^{2} e multiplicada por coeficientes que dependem de x e y.
  • As derivadas pedidas são parciais: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando x varia e y fica fixo; \dfrac{\partial z}{\partial y} é a taxa de variação de z quando y varia e x fica fixo.

Passo 2

Estratégia (sem detalhes técnicos do porquê ainda): para obter \dfrac{\partial z}{\partial x} vamos diferenciar a equação dada em relação a x, tratando y como constante e lembrando que z depende de x (logo quando derivamos expressões envolvendo z usamos a regra da cadeia: derivada de z é \dfrac{\partial z}{\partial x}). Para \dfrac{\partial z}{\partial y} faremos o mesmo diferenciando em relação a y, tratando x como constante.
Antes de aplicar as regras, um lembrete rápido das regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia (no contexto de derivadas parciais): se temos z=g(x,y), então \dfrac{\partial}{\partial x} (z^{2}) = 2 z \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Ao derivar em relação a x, qualquer termo que contenha apenas y (e não x) é tratado como constante; ao derivar em relação a y, termos com só x são constantes.

Passo 3

Diferenciação da equação em relação a x. Vou derivar termo a termo \left(y\\ \text{fixo}\right):
Termo x z^{2}:
  • É um produto entre x e z^{2}. Aplicando produto e cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x z^{2}\big)=1\cdot z^{2}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=z^{2}+x\cdot(2 z)\frac{\partial z}{\partial x}.
Termo 2 x^{2} y (lembre: y é tratado como constante):
\frac{\partial}{\partial x}\big(2 x^{2} y\big)=2y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=2y\cdot 2x=4 x y.
Termo -4 y^{2} z (produto entre -4 y^{2} — constante em x — e z):
\frac{\partial}{\partial x}\big(-4 y^{2} z\big)=-4 y^{2}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}.
Termo 3y: como não depende de x, sua derivada é 0. Termo -2: derivada 0.
Somando todas as derivadas e igualando a zero:
z^{2}+2 x z\frac{\partial z}{\partial x}+4 x y-4 y^{2}\frac{\partial z}{\partial x}=0.

Passo 4

Isolar \dfrac{\partial z}{\partial x}. Agrupando os termos com \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\big(2 x z-4 y^{2}\big)\frac{\partial z}{\partial x}+z^{2}+4 x y=0.
Passando o termo que não contém \dfrac{\partial z}{\partial x} para o outro lado:
\big(2 x z-4 y^{2}\big)\frac{\partial z}{\partial x} = -\big(z^{2}+4 x y\big).
Finalmente:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z^{2}+4 x y}{\,2 x z-4 y^{2}\,}.}
Observação útil para a prova: pode-se fatorar um 2 no denominador se quiser escrever como \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{z^{2}+4xy}{2(xz-2y^{2})}, mas não é obrigatório.

Passo 5

Agora diferenciamos a equação em relação a y (agora x é tratado como constante). Novamente iremos termo a termo.
Termo x z^{2} (aqui x é constante):
\frac{\partial}{\partial y}\big(x z^{2}\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}(z^{2})=x\cdot(2 z)\frac{\partial z}{\partial y}=2 x z\frac{\partial z}{\partial y}.
Termo 2 x^{2} y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2 x^{2} y\big)=2 x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=2 x^{2}.
Termo -4 y^{2} z: é produto entre -4 y^{2} e z, ambos dependem de y. Aplicando produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-4 y^{2} z\big)=\big(-8 y\big)z + \big(-4 y^{2}\big)\frac{\partial z}{\partial y}=-8 y z-4 y^{2}\frac{\partial z}{\partial y}.
Termo 3y: \dfrac{d}{dy}(3y)=3. Termo -2: derivada 0.
Somando tudo e igualando a zero:
2 x z\frac{\partial z}{\partial y}+2 x^{2}-8 y z-4 y^{2}\frac{\partial z}{\partial y}+3=0.

Passo 6

Isolar \dfrac{\partial z}{\partial y}. Agrupando os termos com \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\big(2 x z-4 y^{2}\big)\frac{\partial z}{\partial y} + \big(2 x^{2}-8 y z+3\big)=0.
Passando o termo livre para o outro lado:
\big(2 x z-4 y^{2}\big)\frac{\partial z}{\partial y} = -\big(2 x^{2}-8 y z+3\big).
Logo:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2 x^{2}-8 y z+3}{\,2 x z-4 y^{2}\,}.}
Também aqui é possível factorizar 2 no denominador se desejar: \dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{2 x^{2}-8 y z+3}{2(xz-2y^{2})}.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido para a prova (forma prática):
  • Ao derivar implicitamente, lembre-se: ao derivar qualquer expressão com z use a regra da cadeia, multiplicando por \dfrac{\partial z}{\partial x} ou \dfrac{\partial z}{\partial y} conforme o caso.
  • Ao derivar em relação a x, trate y como constante; em relação a y, trate x como constante.
  • Organize os termos reunindo os que multiplicam a derivada parcial e isole-a.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z^{2}+4 x y}{\,2 x z-4 y^{2}\,}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2 x^{2}-8 y z+3}{\,2 x z-4 y^{2}\,}