Calcule
e
se
é definida implicitamente pela equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita que relaciona
,
e
:
Pede-se calcular as derivadas parciais
e
, onde
é definida por essa equação (ou seja,
depende de
e
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
não está isolada; ela aparece dentro de termos como e multiplicada por coeficientes que dependem de e . - As derivadas pedidas são parciais:
é a taxa de variação de quando varia e fica fixo; é a taxa de variação de quando varia e fica fixo.
Passo 2
Estratégia (sem detalhes técnicos do porquê ainda): para obter
vamos diferenciar a equação dada em relação a
, tratando
como constante e lembrando que
depende de
(logo quando derivamos expressões envolvendo
usamos a regra da cadeia: derivada de
é
). Para
faremos o mesmo diferenciando em relação a
, tratando
como constante.
Antes de aplicar as regras, um lembrete rápido das regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia (no contexto de derivadas parciais): se temos
, então . - Ao derivar em relação a
, qualquer termo que contenha apenas (e não ) é tratado como constante; ao derivar em relação a , termos com só são constantes.
Passo 3
Diferenciação da equação em relação a
. Vou derivar termo a termo
:
Termo
:
- É um produto entre
e . Aplicando produto e cadeia:
Termo
(lembre:
é tratado como constante):
Termo
(produto entre
— constante em
— e
):
Termo
: como não depende de
, sua derivada é
. Termo
: derivada
.
Somando todas as derivadas e igualando a zero:
Passo 4
Isolar
. Agrupando os termos com
:
Passando o termo que não contém
para o outro lado:
Finalmente:
Observação útil para a prova: pode-se fatorar um
no denominador se quiser escrever como
, mas não é obrigatório.
Passo 5
Agora diferenciamos a equação em relação a
(agora
é tratado como constante). Novamente iremos termo a termo.
Termo
(aqui
é constante):
Termo
:
Termo
: é produto entre
e
, ambos dependem de
. Aplicando produto:
Termo
:
. Termo
: derivada
.
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 6
Isolar
. Agrupando os termos com
:
Passando o termo livre para o outro lado:
Logo:
Também aqui é possível factorizar
no denominador se desejar:
.
Passo 7
Resumo interpretativo rápido para a prova (forma prática):
- Ao derivar implicitamente, lembre-se: ao derivar qualquer expressão com
use a regra da cadeia, multiplicando por ou conforme o caso. - Ao derivar em relação a
, trate como constante; em relação a , trate como constante. - Organize os termos reunindo os que multiplicam a derivada parcial e isole-a.