Calcule o que se pede em (a) e (b). Na sua opinião qual dos dois comprimentos de onda é mais significativo e deve ser levado em conta em situações práticas/teóricas
a) O comprimento de onda para um elétron ( \mathrm{m}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) que se move a 1 \% da velocidade da luz.
b) Qual o comprimento de onda de um grão de areia que pesa 0,000010 \mathrm{~g} e está se movendo através do vento a uma velocidade de 0,010 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de onda segundo a relação de de Broglie \lambda = \frac{h}{p}, onde h é a constante de Planck e p é o momento linear.
Em (a) temos um elétron de massa m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} movendo-se a 1\% da velocidade da luz.
Em (b) temos um grão de areia de massa m_s=0,000010\,\mathrm{g}=1\times10^{-8}\,\mathrm{kg} a 0,010\,\mathrm{m/s}.

Passo 2

Para o elétron em (a) a velocidade é
v_e = 0{,}01\,c = 0{,}01\times3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s} = 3{,}00\times10^6\,\mathrm{m/s}.
O momento linear é
p_e = m_e\,v_e = \bigl(9{,}11\times10^{-31}\bigr)\times\bigl(3{,}00\times10^6\bigr) =2{,}73\times10^{-24}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Logo o comprimento de onda vale
\lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}}{2{,}73\times10^{-24}\,\mathrm{kg\cdot m/s}} \approx 2{,}43\times10^{-10}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para o grão de areia em (b) a massa é m_s=1\times10^{-8}\,\mathrm{kg} e a velocidade é v_s=0{,}010\,\mathrm{m/s}.
O momento linear é
p_s = m_s\,v_s = \bigl(1\times10^{-8}\bigr)\times\bigl(1\times10^{-2}\bigr) =1\times10^{-10}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
O comprimento de onda é
\lambda_s = \frac{h}{p_s} = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{1\times10^{-10}} =6{,}626\times10^{-24}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Comparando os resultados: \lambda_e\approx2,4\times10^{-10}\,\mathrm{m} e \lambda_s\approx6,6\times10^{-24}\,\mathrm{m}.
O comprimento de onda do elétron é milhões de vezes maior e chega à escala atômica,
enquanto o do grão de areia é absurdamente pequeno, invisível a qualquer experimento.

Resposta

(a) \lambda_e\approx2,4\times10^{-10}\,\mathrm{m}.
(b) \lambda_s\approx6,6\times10^{-24}\,\mathrm{m}.
O comprimento de onda do elétron é o único significativo para efeitos quânticos e deve ser considerado em situações práticas e teóricas.

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