Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, -y, 0) sobre a fronteira do sólido descrito por B: x^2 + z^2 <= 1 e 0 <= y <= 3, na direção do vetor unitário normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial sobre a fronteira de um sólido definido por e . Vamos usar a definição de fluxo e o teorema da divergência para isso. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial, e como aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . A condição descreve um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo , e limita esse cilindro entre e . Então, é um cilindro fechado nessas extremidades.

Passo 3

Agora, o fluxo de um campo vetorial através da fronteira do sólido é dado por:
onde é o vetor normal unitário externo à superfície.

Passo 4

Vamos aplicar o teorema da divergência, que nos facilita o cálculo do fluxo ao relacionar a integral de superfície com uma integral sobre o volume. O teorema diz:
Então, precisamos calcular a divergência de , que é:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
Então,

Passo 6

Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
De acordo com o teorema da divergência,

Resposta

O fluxo do campo vetorial sobre a fronteira do sólido é igual a zero.

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