Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira de um sólido definido por
e
. Vamos usar a definição de fluxo e o teorema da divergência para isso. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial, e como aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido
. A condição
descreve um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo
, e
limita esse cilindro entre
e
. Então,
é um cilindro fechado nessas extremidades.
Passo 3
Agora, o fluxo de um campo vetorial
através da fronteira
do sólido
é dado por:
onde
é o vetor normal unitário externo à superfície.
Passo 4
Vamos aplicar o teorema da divergência, que nos facilita o cálculo do fluxo ao relacionar a integral de superfície com uma integral sobre o volume. O teorema diz:
Então, precisamos calcular a divergência de
, que é:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada:
Então,
Passo 6
Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
De acordo com o teorema da divergência,
Resposta
O fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido
é igual a zero.