Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral y^3 d y(1-2 y^4)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa achar a primitiva, ou seja, a função cuja derivada dá o que está dentro da integral. A função que vamos integrar é:
integral y^3 , dy(1-2 y^4)^5
Para resolver isso, a gente vai usar uma técnica chamada substituição de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída por uma nova variável para deixar a integral mais simples. Olhando para a fração, percebemos que o denominador é (1-2 y^4)^5. Vamos então definir:
u = 1 - 2y^4
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a y para encontrar du:
dudy = -8y^3
Isso significa que:
du = -8y^3 , dy
Queremos expressar y^3 , dy em termos de du, então rearranjando a equação acima, temos:
y^3 , dy = -du8

Passo 4

Substituímos agora u e y^3 , dy na integral original:
integral y^3 , dy(1-2 y^4)^5 = integral -du8u^5 = -18 integral u^-5 , du

Passo 5

Vamos integrar u^-5 em relação a u:
integral u^-5 , du = u^-4-4 + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
-18 cdot ( u^-4-4 ) + C = 132 u^-4 + C
Agora, lembrando que u = 1 - 2y^4, substituímos novamente:
132 (1 - 2y^4)^-4 + C

Resposta

A primitiva da função é:
132 (1 - 2y^4)^-4 + C

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