Calcule o produto misto [u, v, w] quando u=(1,6,4), v=(2,-1,9) e w=(1,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto misto onde , e . Esse conceito está na matéria de Álgebra Vetorial e vamos precisar usar o produto escalar e o produto vetorial para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. Ele é definido como o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Ou seja:
[u, v, w] = u cdot (v times w)
Então, precisamos calcular o produto vetorial primeiro.

Passo 3

Para calcular o produto vetorial v times w = i & j & k 2 & -1 & 9 1 & 1 & -1 , usamos a seguinte matriz:
v times w = i cdot -1 & 9 1 & -1 - j cdot 2 & 9 1 & -1 + k cdot 2 & -1 1 & 1
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes:
-1 & 9 1 & -1 = (-1)(-1) - (9)(1) = 1 - 9 = -8
2 & 9 1 & -1 = (2)(-1) - (9)(1) = -2 - 9 = -11
2 & -1 1 & 1 = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3

Passo 5

Substituindo os valores dos determinantes na expressão do produto vetorial:
v times w = i cdot (-8) - j cdot (-11) + k cdot 3
v times w = (-8, 11, 3)

Passo 6

Agora que temos u cdot (v times w) = (1, 6, 4) cdot (-8, 11, 3) , vamos calcular o produto escalar com = (1)(-8) + (6)(11) + (4)(3) = -8 + 66 + 12 = 70 :

Resposta

O produto misto é igual a 70.

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