Calcule o produto nabla . (nabla x f): f(x, y, z) = <sen(x), cos(x - y), z>

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto nabla . (nabla x f), onde a função vetorial é . Esse problema está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente aos operadores gradiente ( nabla), divergente ( ) e rotacional ( nabla vezes). Para resolver, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e, depois, a divergente desse rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de f, ou seja, . O rotacional de um vetor é dado pela seguinte matriz determinante:
Substituindo :
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergente do rotacional que acabamos de encontrar, ou seja, . A divergente de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso rotacional :
Calculando cada termo:
Somando todos:

Resposta

O produto nabla . (nabla x f) é igual a 0.

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