Calcule as raízes abaixo sem usar calculadora. Dica: se necessário, fatore algum número.
\sqrt{2025}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \sqrt{2025} sem usar calculadora. Informação dada: o número dentro da raiz é 2025. Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem usar calculadora): reconhecer fatorações que transformam o radicando em um produto de quadrados perfeitos. Duas maneiras simples:
  • fatorar 2025 em fatores primos e agrupar expoentes pares; ou
  • reconhecer um quadrado perfeito por tentativa (por exemplo testar 45^2, 40^2, etc.). Vou usar a fatoração em primos porque é sistemática e sempre funciona.

Passo 3

Fatoração de 2025. Começa dividindo por fatores pequenos:
2025 \div 5 = 405,
porque o último dígito é 5. Em seguida:
405 \div 5 = 81.
E 81 é conhecido como 9^2 ou 3^4. Assim, escrevemos
2025 = 5 \cdot 5 \cdot 81 = 5^2 \cdot 81 = 5^2 \cdot 9^2.

Passo 4

Passando para fatores primos explicitamente:
9^2 = (3^2)^2 = 3^4,
logo
2025 = 3^4 \cdot 5^2.

Passo 5

Propriedade usada: para inteiros não negativos, \sqrt{a^2}=a e \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}. Assim,
\sqrt{2025}=\sqrt{3^4\cdot5^2}=\sqrt{(3^2)^2\cdot5^2}=\sqrt{(3^2\cdot5)^2}.

Passo 6

Extraindo a raiz do quadrado perfeito:
\sqrt{(3^2\cdot5)^2 = (9\cdot5)^2} = 9\cdot5 = 45.
Portanto a raiz quadrada principal de 2025 é 45.

Passo 7

Verificação rápida (sem calculadora) por expansão binomial: 45=40+5, então
45^2=(40+5)^2=40^2+2\cdot40\cdot5+5^2=1600+400+25=2025,
confirmando que \sqrt{2025}=45.

Resposta

45