Calcule as raízes abaixo sem usar calculadora. Dica: se necessário, fatore algum número.
\sqrt[3]{-\frac{1}{32}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a raiz cúbica de -\dfrac{1}{32}. Ou seja, queremos encontrar o número real x tal que
x^{3} = -\frac{1}{32}.
Informações dadas:
  • O número cujo radical queremos é -\dfrac{1}{32}.
  • Dica: podemos fatorar números (isto será útil para simplificar).

Passo 2

Primeiro lembrete importante e intuitivo: a raiz cúbica é uma raiz de índice ímpar. Isso implica que a raiz cúbica de um número negativo é negativa e que
\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}
para qualquer a\ge 0. Portanto podemos tirar o sinal negativo para fora:
\sqrt[3]{-\frac{1}{32}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{32}}.

Passo 3

Agora trate a parte positiva \dfrac{1}{32}. Fatorei 32 em potências de 2:
32 = 2^{5}.
Logo
\frac{1}{32} = 2^{-5}.
Aplicando a raiz cúbica (que é potência ^{1/3}):
\sqrt[3]{\frac{1}{32}} = (2^{-5})^{1/3} = 2^{-5/3}.
Assim temos até agora
\sqrt[3]{-\frac{1}{32}} = -\,2^{-5/3}.

Passo 4

Escrevendo 2^{-5/3} em forma de radicais, podemos separar a parte inteira da potência:
2^{-5/3} = \frac{1}{2^{5/3}} = \frac{1}{2^{1}\,2^{2/3}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{2^{2}}} = \frac{1}{2\sqrt[3]{4}}.
Portanto
\sqrt[3]{-\frac{1}{32}} = -\frac{1}{2\sqrt[3]{4}}.

Passo 5

Queremos uma forma mais limpa (sem radical no denominador). Para isso “racionalizamos” o denominador relativo a raiz cúbica: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt[3]{4^{2}}=\sqrt[3]{16}. Fazer isso é análogo a multiplicar por conjugado em quadrados, mas aqui usamos potências que transformam \sqrt[3]{4} em uma potência inteira no denominador:
-\frac{1}{2\sqrt[3]{4}}\cdot\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{16}} = -\frac{\sqrt[3]{16}}{2\sqrt[3]{4}\,\sqrt[3]{16}}.
Como \sqrt[3]{4}\,\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{64}=4, obtemos
-\frac{\sqrt[3]{16}}{2\cdot 4} = -\frac{\sqrt[3]{16}}{8}.

Passo 6

Simplifique \sqrt[3]{16}: como 16=2^{4}, tem-se \sqrt[3]{16}=2^{4/3}=2\cdot 2^{1/3}=2\sqrt[3]{2}. Substituindo:
-\frac{\sqrt[3]{16}}{8} = -\frac{2\sqrt[3]{2}}{8} = -\frac{\sqrt[3]{2}}{4}.
Portanto obtemos uma forma simples e bonita para a raiz cúbica.

Passo 7

Resumo do raciocínio: tiramos o sinal negativo (por ser raiz de índice ímpar), fatoramos 32=2^{5}, usamos propriedades de potências para escrever a raiz como uma potência fracionária e, por fim, simplificamos/racionalizamos para eliminar o radical do denominador.

Resposta

-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{4}

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