Calcule as raízes abaixo sem usar calculadora. Dica: se necessário, fatore algum número.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a raiz cúbica de
. Ou seja, queremos encontrar o número real
tal que
Informações dadas:
- O número cujo radical queremos é
. - Dica: podemos fatorar números (isto será útil para simplificar).
Passo 2
Primeiro lembrete importante e intuitivo: a raiz cúbica é uma raiz de índice ímpar. Isso implica que a raiz cúbica de um número negativo é negativa e que
para qualquer
. Portanto podemos tirar o sinal negativo para fora:
Passo 3
Agora trate a parte positiva
. Fatorei
em potências de
:
Logo
Aplicando a raiz cúbica (que é potência
):
Assim temos até agora
Passo 4
Escrevendo
em forma de radicais, podemos separar a parte inteira da potência:
Portanto
Passo 5
Queremos uma forma mais limpa (sem radical no denominador). Para isso “racionalizamos” o denominador relativo a raiz cúbica: multiplicamos numerador e denominador por
. Fazer isso é análogo a multiplicar por conjugado em quadrados, mas aqui usamos potências que transformam
em uma potência inteira no denominador:
Como
, obtemos
Passo 6
Simplifique
: como
, tem-se
. Substituindo:
Portanto obtemos uma forma simples e bonita para a raiz cúbica.
Passo 7
Resumo do raciocínio: tiramos o sinal negativo (por ser raiz de índice ímpar), fatoramos
, usamos propriedades de potências para escrever a raiz como uma potência fracionária e, por fim, simplificamos/racionalizamos para eliminar o radical do denominador.