Calcule e represente z no plano complexo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o número complexo
e representá-lo no plano complexo. A informação dada é
Nada mais foi fornecido. Vou resolver passo a passo para chegar ao valor de
e depois descrever como ele aparece no plano (coordenadas, módulo e argumento).
Passo 2
Regra de potências para divisão (lembrete e justificativa): se a base é a mesma e diferente de zero, vale
Aqui a base é
e
, logo podemos aplicar essa regra diretamente ao nosso problema:
Passo 3
Calcule a diferença dos expoentes:
Portanto
Passo 4
Propriedade fundamental das potências de
: as potências de
são periódicas de período
. Mostrando os primeiros valores:
e a partir daí a sequência se repete:
etc. Isso acontece porque
, então multiplicar por
não muda o valor. Portanto para qualquer inteiro
basta conhecer o resto de
na divisão por
(isto é,
).
Passo 5
Calcular o resto de
por
. Dividindo:
resto
Logo
. Pela periodicidade,
Passo 6
Conclusão numérica: o número complexo pedido é
Interpretação geométrica no plano complexo (como representar):
- O eixo horizontal é o eixo dos números reais (parte real) e o eixo vertical é o eixo das partes imaginárias.
- O ponto correspondente a
tem coordenadas : parte real e parte imaginária . - O módulo é
(distância da origem até o ponto ). - O argumento (ângulo com o eixo positivo dos reais, medido no sentido anti-horário) é
radianos (ou ), porque o ponto está sobre o eixo real negativo.
Para desenhar: marcar o ponto
no eixo real, traçar o vetor da origem até esse ponto; o vetor tem comprimento
e aponta para a esquerda.
Resposta
Representação no plano complexo: ponto
, com módulo
e argumento
.