Calcule e represente z no plano complexo:
z=\frac{i^{3123}}{i^{5}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o número complexo z e representá-lo no plano complexo. A informação dada é
z=\frac{i^{3123}}{i^{5}}.
Nada mais foi fornecido. Vou resolver passo a passo para chegar ao valor de z e depois descrever como ele aparece no plano (coordenadas, módulo e argumento).

Passo 2

Regra de potências para divisão (lembrete e justificativa): se a base é a mesma e diferente de zero, vale
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aqui a base é i e i\neq0, logo podemos aplicar essa regra diretamente ao nosso problema:
z=\frac{i^{3123}}{i^{5}}=i^{3123-5}.

Passo 3

Calcule a diferença dos expoentes:
3123-5=3118.
Portanto
z=i^{3118}.

Passo 4

Propriedade fundamental das potências de i: as potências de i são periódicas de período 4. Mostrando os primeiros valores:
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,
e a partir daí a sequência se repete: i^{5}=i,\; i^{6}=-1, etc. Isso acontece porque i^{4}=1, então multiplicar por i^{4} não muda o valor. Portanto para qualquer inteiro n basta conhecer o resto de n na divisão por 4 (isto é, n\bmod 4).

Passo 5

Calcular o resto de 3118 por 4. Dividindo:
4\cdot 779=3116,
resto
3118-3116=2.
Logo 3118\equiv 2\pmod{4}. Pela periodicidade,
i^{3118}=i^{2}=-1.

Passo 6

Conclusão numérica: o número complexo pedido é
z=-1.
Interpretação geométrica no plano complexo (como representar):
  • O eixo horizontal é o eixo dos números reais (parte real) e o eixo vertical é o eixo das partes imaginárias.
  • O ponto correspondente a z=-1 tem coordenadas (-1,0): parte real -1 e parte imaginária 0.
  • O módulo é |z|=1 (distância da origem até o ponto (-1,0)).
  • O argumento (ângulo com o eixo positivo dos reais, medido no sentido anti-horário) é \pi radianos (ou 180^\circ), porque o ponto está sobre o eixo real negativo.
Para desenhar: marcar o ponto (-1,0) no eixo real, traçar o vetor da origem até esse ponto; o vetor tem comprimento 1 e aponta para a esquerda.

Resposta

z=-1
Representação no plano complexo: ponto (-1,0), com módulo |z|=1 e argumento \pi.