Calcule as seguintes derivadas: f(x) = ln[sen((x-1)/x)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui vamos usar conceitos de derivadas da função logaritmo natural e da função seno, aplicando a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar logaritmos, senos e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna. Temos , onde . Para derivar , vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

A derivada de em relação a é . Aplicando isso, a derivada de será:
Ou seja,

Passo 4

Agora, vamos derivar . Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:

Passo 5

Vamos calcular a derivada de . Podemos simplificar essa expressão antes de derivar:
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 7

Agora, voltamos à derivada de :
Podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A derivada de é:

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