Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{lll} \log _{a}\left(\frac{x}{y}\right) & \log _{a}\left(\frac{y}{z}\right) & \log _{a}\left(\frac{z}{x}\right) \\\ \log _{b}\left(\frac{y}{z}\right) & \log _{b}\left(\frac{z}{x}\right) & \log _{b}\left(\frac{x}{z}\right) \\\ \log _{c}\left(\frac{z}{x}\right) & \log _{c}\left(\frac{x}{y}\right) & \log _{c}\left(\frac{y}{z}\right) \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} \log_{a}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) & \log_{a}\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr) & \log_{a}\bigl(\tfrac{z}{x}\bigr)\\\ \log_{b}\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr) & \log_{b}\bigl(\tfrac{z}{x}\bigr) & \log_{b}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\\\ \log_{c}\bigl(\tfrac{z}{x}\bigr) & \log_{c}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) & \log_{c}\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr) \end{pmatrix}.
Aqui vamos usar a propriedade
\log_{a}(u)=\frac{\ln u}{\ln a}
e a noção de determinante para mostrar que a matriz é singular.

Passo 2

Reescrevendo cada elemento em termos de logaritmo natural extraímos de cada linha um fator constante. De fato, da linha 1 sai 1/\ln a, da linha 2 sai 1/\ln b e da linha 3 sai 1/\ln c. Assim
\det M = \frac{1}{\ln a}\,\frac{1}{\ln b}\,\frac{1}{\ln c} \det \begin{pmatrix} \ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)&\ln\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)&\ln\!\bigl(\tfrac{z}{x}\bigr)\\\ \ln\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)&\ln\!\bigl(\tfrac{z}{x}\bigr)&\ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\\\ \ln\!\bigl(\tfrac{z}{x}\bigr)&\ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)&\ln\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr) \end{pmatrix}.
Denotemos essa segunda matriz por N.

Passo 3

Observe que em N a soma dos elementos de qualquer linha é
\ln\!\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr) +\ln\!\bigl(\tfrac{v}{w}\bigr) +\ln\!\bigl(\tfrac{w}{u}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{u}{v}\cdot\tfrac{v}{w}\cdot\tfrac{w}{u}\bigr) =\ln(1)=0.
Logo cada linha de N soma zero, o que implica que as três linhas são linearmente dependentes (por exemplo, a linha (1,1,1) está no espaço ortogonal às linhas). Consequentemente
\det N = 0.

Passo 4

Como \det N=0, segue que
\det M = \frac{1}{\ln a}\,\frac{1}{\ln b}\,\frac{1}{\ln c}\;\det N =0.

Resposta

O valor do determinante é 0.

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