Calcule os seguintes determinantes:
(b) |cce^r t & t e^r t r e^r t & (1+r t) e^r t|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante que o enunciado pediu. A gente vai trabalhar com determinantes de matrizes 2x2, que fazem parte da álgebra linear. Para isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 2x2 usando a fórmula básica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante. Ela é a seguinte:
e^rt & t e^rt r e^rt & (1 + r t) e^rt

Passo 3

A fórmula para o determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é:
det = a cdot d - b cdot c

Passo 4

Vamos identificar os elementos da nossa matriz de acordo com a fórmula:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do determinante substituindo os valores:
det = e^rt cdot (1 + r t) e^rt - t e^rt cdot r e^rt

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det = e^2 rt (1 + r t) - r t e^2 rt

Passo 8

Agora, vamos fatorar det = e^2 rt (1 + r t - r t) da expressão:

Passo 9

Simplificando dentro do parênteses:
1 + r t - r t = 1

Passo 10

Portanto, o determinante fica:
det = e^2 rt cdot 1 = e^2 rt

Resposta

O determinante é .

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