Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 até
. Isso envolve o cálculo de integrais e o uso de identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de identidades trigonométricas e de como calcular integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. A expressão é
. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Vamos rearranjar essa fórmula para expressar
.
Passo 3
A partir da identidade
, somamos 1 em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Então, a expressão dentro da raiz se simplifica para
.
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão, temos:
Sabemos que
, o valor absoluto de
. Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
no intervalo de 0 a
. Sabemos que:
- Para
entre 0 e , é positivo. - Para
entre e , é negativo.
Portanto, podemos dividir a integral em duas partes:
Isso porque
é igual a
na primeira metade e a
na segunda metade.
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Então, o valor da integral é 2.