Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^1 t^2(1+2 t^3)^5 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar entender como escolher uma parte da integral para simplificar usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que está dentro da potência: . Essa expressão parece um bom candidato para substituição porque fica dentro de uma função composta, o que facilita aplicar a técnica.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar nosso trabalho. Seja:
u = 1 + 2 t^3
Agora, precisamos encontrar o diferencial dudt = 6 t^2 Rightarrow du = 6 t^2 dt em termos de t^2 dt = du6 :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos integral0^1 t^2(1 + 2 t^3)^5 dt = integralu(0)^u(1) u^5 cdot du6 = 16 integralu(0)^u(1) u^5 du e na integral original:

Passo 5

Agora, ajustamos os limites de integração de acordo com a substituição. Quando u(0) = 1 + 2(0)^3 = 1 :
u(1) = 1 + 2(1)^3 = 3
E quando :

Passo 6

Vamos calcular a integral de 16 integral1^3 u^5 du = 16 [ u^66 ]1^3 = 136 (3^6 - 1^6) :
3^6 = 729 e 1^6 = 1
Calculando os valores:
136 (729 - 1) = 72836 = 1829
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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