Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
é o integrando, o intervalo de integração é de
até
. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Lembrete essencial (aula rapidinha): a função
em português é a mesma coisa que
em LaTeX. Uma técnica básica para integrais como esta é achar uma primitiva (antiderivada). Sabemos que, para uma constante
,
Invertendo isso, uma primitiva de
é
Explicando o porquê (cadeia de causas): ao derivar
usamos a regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos por
. Por isso aparece o fator
, e para obter
precisamos de
na frente de
.
Passo 3
Aplicando o resultado com
e variável
, uma primitiva de
é
Posso checar rapidamente:
. Está certo.
Passo 4
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
Passo 5
Calculemos
e
. Precisamos dos cossenos:
pois
tem período
. E
Passo 6
Substituindo em
:
Agrupando:
Passo 7
Verificação alternativa (para firmar o raciocínio): faça a substituição
, então
e
. Os limites
e
. Assim
mesmo resultado — ótimo sinal!