Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}(3 \pi t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}(3 \pi t)\,dt.
Informações dadas:
\operatorname{sen}(3 \pi t) é o integrando, o intervalo de integração é de t=0 até t=1. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Lembrete essencial (aula rapidinha): a função \operatorname{sen} em português é a mesma coisa que \sin em LaTeX. Uma técnica básica para integrais como esta é achar uma primitiva (antiderivada). Sabemos que, para uma constante a\neq0,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(ax)\bigr) = -a\sin(ax).
Invertendo isso, uma primitiva de \sin(ax) é
-\frac{1}{a}\cos(ax).
Explicando o porquê (cadeia de causas): ao derivar \cos(ax) usamos a regra da cadeia: derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u), e depois multiplicamos por u'=a. Por isso aparece o fator -a, e para obter \sin(ax) precisamos de -1/a na frente de \cos(ax).

Passo 3

Aplicando o resultado com a=3\pi e variável t, uma primitiva de \operatorname{sen}(3\pi t) é
F(t) = -\frac{1}{3\pi}\cos(3\pi t).
Posso checar rapidamente: F'(t)= -\frac{1}{3\pi}\cdot(-3\pi)\sin(3\pi t)=\sin(3\pi t). Está certo.

Passo 4

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}(3\pi t)\,dt = F(1)-F(0).

Passo 5

Calculemos F(1) e F(0). Precisamos dos cossenos:
\cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos(\pi)=-1,
pois \cos tem período 2\pi. E
\cos(0)=1.

Passo 6

Substituindo em F(1)-F(0):
F(1)-F(0) = -\frac{1}{3\pi}\cos(3\pi) - \Bigl(-\frac{1}{3\pi}\cos(0)\Bigr) = -\frac{1}{3\pi}(-1) + \frac{1}{3\pi}(1).
Agrupando:
F(1)-F(0)=\frac{1}{3\pi}+\frac{1}{3\pi}=\frac{2}{3\pi}.

Passo 7

Verificação alternativa (para firmar o raciocínio): faça a substituição u=3\pi t, então du=3\pi\,dt e dt=\dfrac{du}{3\pi}. Os limites t=0\to u=0 e t=1\to u=3\pi. Assim
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(3\pi t)\,dt=\frac{1}{3\pi}\int_{0}^{3\pi}\sin(u)\,du =\frac{1}{3\pi}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{3\pi}=\frac{1}{3\pi}(1-(-1))=\frac{2}{3\pi},
mesmo resultado — ótimo sinal!

Resposta

\dfrac{2}{3\pi}