Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a expressão integranda é
e a variável de integração é
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Primeiro ponto importante (muito comum confundir): a integração é em relação a
. Isso significa que tratamos qualquer símbolo que não seja
como constante durante a integração. Aqui temos
— como não é
, vamos considerá-lo uma constante em relação a
. Se
dependesse de
(por exemplo
), o enunciado precisaria deixar isso claro e a resolução seria diferente; mas como o problema está escrito, o procedimento padrão é tratar
como constante.
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas,
Aplicando ao nosso caso:
Passo 4
Agora vamos integrar termo a termo. Primeiro termo:
. Como expliquei,
é constante em relação a
, então podemos tirá-lo fora da integral:
Motivação/checagem rápida: a derivada de
em relação a
é
, então faz sentido.
Passo 5
Segundo termo:
. Usamos a regra do “power rule” (regra da potência) para integrais: para
,
No nosso caso
, então
Verificação rápida: a derivada de
é
, como esperado.
Passo 6
Somando os resultados dos dois termos e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Cheque final (sempre bom fazer na prova): derivando a resposta em relação a
devemos recuperar o integrando:
pois
(tratando
como constante) e
. Portanto está consistente.