Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(x^{2}+t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+t\right)\,dt.
Informações dadas: a expressão integranda é \left(x^{2}+t\right) e a variável de integração é t. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Primeiro ponto importante (muito comum confundir): a integração é em relação a t. Isso significa que tratamos qualquer símbolo que não seja t como constante durante a integração. Aqui temos \,x^{2} — como não é t, vamos considerá-lo uma constante em relação a t. Se x dependesse de t (por exemplo x=x(t)), o enunciado precisaria deixar isso claro e a resolução seria diferente; mas como o problema está escrito, o procedimento padrão é tratar x como constante.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas,
\int\big(f(t)+g(t)\big)\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt.
Aplicando ao nosso caso:
\int\left(x^{2}+t\right)\,dt=\int x^{2}\,dt+\int t\,dt.

Passo 4

Agora vamos integrar termo a termo. Primeiro termo: \int x^{2}\,dt. Como expliquei, \,x^{2} é constante em relação a t, então podemos tirá-lo fora da integral:
\int x^{2}\,dt = x^{2}\int 1\,dt = x^{2}\,t.
Motivação/checagem rápida: a derivada de x^{2}t em relação a t é x^{2}, então faz sentido.

Passo 5

Segundo termo: \int t\,dt. Usamos a regra do “power rule” (regra da potência) para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=1, então
\int t\,dt=\int t^{1}\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
Verificação rápida: a derivada de \dfrac{t^{2}}{2} é t, como esperado.

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
x^{2}t+\frac{t^{2}}{2}+C.

Passo 7

Cheque final (sempre bom fazer na prova): derivando a resposta em relação a t devemos recuperar o integrando:
\frac{d}{dt}\left(x^{2}t+\frac{t^{2}}{2}+C\right)=x^{2}+t,
pois \dfrac{d}{dt}(x^{2}t)=x^{2} (tratando x^{2} como constante) e \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{t^{2}}{2}\big)=t. Portanto está consistente.

Resposta

\;x^{2}t+\dfrac{t^{2}}{2}+C