Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
24.
\int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}+1}. Resposta. \frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1}.
O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição, e podemos usar a fórmula básica
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C
da tabela de integrais.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável
u = x^{2} + 1, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = \int \frac{1}{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C

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