Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
38.
\int \frac{\mathrm{d} x}{9 x^{2}+4}. Resposta. \frac{1}{6} \operatorname{arctg} \frac{3 x}{2}+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{d}x}{9x^{2}+4}.
O tema é integrais do tipo \displaystyle\int\frac{\mathrm{d}u}{u^{2}+a^{2}}, cuja antiderivada é dada pela função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, coloque o denominador em forma padrão u^{2}+a^{2}. Note que
9x^{2}+4 = 9\Bigl(x^{2}+\tfrac{4}{9}\Bigr)
e portanto
\int \frac{\mathrm{d}x}{9x^{2}+4} = \int \frac{\mathrm{d}x}{9\bigl(x^{2}+(2/3)^{2}\bigr)} = \frac{1}{9}\,\int \frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+(2/3)^{2}}.

Passo 3

Usamos a fórmula
\int \frac{\mathrm{d}u}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C.
Aqui u=x e a=2/3, logo
\int \frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+(2/3)^{2}} = \frac{1}{\tfrac{2}{3}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{x}{2/3}\Bigr)+C = \frac{3}{2}\,\arctan\!\Bigl(\frac{3x}{2}\Bigr)+C.

Passo 4

Voltando ao fator \tfrac{1}{9}, obtemos
\frac{1}{9}\times \frac{3}{2}\,\arctan\!\Bigl(\frac{3x}{2}\Bigr)+C = \frac{1}{6}\,\arctan\!\Bigl(\frac{3x}{2}\Bigr)+C.

Resposta

\int \frac{\mathrm{d}x}{9x^{2}+4} = \frac{1}{6}\,\arctan\!\Bigl(\frac{3x}{2}\Bigr)+C.

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