Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
39.
\int \frac{\mathrm{d} x}{4-9 x^{2}}. Resposta. \frac{1}{12} \ln \left|\frac{2+3 x}{2-3 x}\right|+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{4 - 9x^{2}}.
Esse tipo de integral envolve uma função racional com diferença de quadrados no denominador. Para resolver, vamos usar mudança de variável e a fórmula da tabela 15.1:
\int \frac{du}{1 - u^{2}} = \frac{1}{2}\ln\!\Bigl|\frac{1+u}{1-u}\Bigr| + C.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
4 - 9x^{2} = 4\bigl(1 - (\tfrac{3x}{2})^{2}\bigr).
Logo, podemos reescrever a integral como
\int \frac{dx}{4 - 9x^{2}} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{1 - (\tfrac{3x}{2})^{2}}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = \frac{3x}{2}, \quad du = \frac{3}{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{2}{3}\,du.
Substituindo na integral:
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{1 - u^{2}} = \frac{1}{4}\int \frac{2/3\,du}{1 - u^{2}} = \frac{1}{6}\int \frac{du}{1 - u^{2}}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da tabela 15.1:
\int \frac{du}{1 - u^{2}} = \frac{1}{2}\ln\!\Bigl|\frac{1+u}{1-u}\Bigr| + C.
Portanto
\frac{1}{6}\int \frac{du}{1 - u^{2}} = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\ln\!\Bigl|\frac{1+u}{1-u}\Bigr| + C = \frac{1}{12}\ln\!\Bigl|\frac{1+u}{1-u}\Bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = \tfrac{3x}{2}, então
\frac{1+u}{1-u} = \frac{1 + \tfrac{3x}{2}}{1 - \tfrac{3x}{2}} = \frac{\tfrac{2+3x}{2}}{\tfrac{2-3x}{2}} = \frac{2+3x}{2-3x}.
Logo a integral fica
\int \frac{dx}{4 - 9x^{2}} = \frac{1}{12}\ln\!\Bigl|\frac{2+3x}{2-3x}\Bigr| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}\ln\!\Bigl|\frac{2+3x}{2-3x}\Bigr| + C

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