Calcule as seguintes integrais
\int \sqrt{(x-a)(b-x)} d x, \quad b \neq a

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sqrt{(x-a)(b-x)}\,dx,
onde b\neq a.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função a integrar é a raiz quadrada do produto (x-a)(b-x).
  • Não há outras condições (por exemplo limites); trata‑se de uma primitiva indefinida.
  • É útil notar que o produto (x-a)(b-x) é negativo fora do intervalo [a,b] e não negativo dentro de [a,b]. Para obter uma primitiva real, vamos trabalhar assumindo x no intervalo [a,b] (ou usar continuação complexa fora dele).
    Nada mais é solicitado além da antiderivada.

Passo 2

Vamos transformar a expressão dentro da raiz numa forma de diferença de quadrados para facilitar uma substituição trigonométrica. Defina o ponto médio
m=\frac{a+b}{2}
e o “meio‑comprimento”
r=\frac{b-a}{2}.
Agora escrevemos (x-a)(b-x) em termos de m e r. Primeiro observe que
x-a = x - \Big(m-r\Big)= (x-m)+r,
b-x = (m+r)-x = r-(x-m).
Multiplicando:
(x-a)(b-x) = \big(r+(x-m)\big)\big(r-(x-m)\big)=r^{2}-(x-m)^{2}.
Portanto a integral fica
\int \sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}\,dx,
que é a forma padrão \int \sqrt{R^{2}-u^{2}}\,du (com u=x-m).

Passo 3

Explico a substituição trigonométrica clássica para integrar \sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}. Definimos
x-m = r\sin\theta.
Essa escolha é conveniente porque então
r^{2}-(x-m)^{2}=r^{2}-r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\cos^{2}\theta,
e a raiz fica simples. Também temos diferencial
dx = r\cos\theta\,d\theta.
Para evitar problemas de sinal, podemos escolher \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big] de modo que \cos\theta\ge0 e \sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta}=r\cos\theta.

Passo 4

Substituindo na integral:
\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}} = r\cos\theta,
e
dx = r\cos\theta\,d\theta.
Logo o integrando e o diferencial dão
\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}\,dx = (r\cos\theta)(r\cos\theta\,d\theta)=r^{2}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Portanto a integral transforma‑se em
\int r^{2}\cos^{2}\theta\,d\theta = r^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \cos^{2}\theta usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Assim
r^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = r^{2}\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{r^{2}}{2}\int d\theta + \frac{r^{2}}{2}\int \frac{\cos 2\theta}{2}\,d\theta.
Integrando:
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C.
Multiplicando por r^{2}:
r^{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{r^{2}}{2}\,\theta + \frac{r^{2}}{4}\,\sin 2\theta + C.

Passo 6

Agora voltamos para a variável x. Primeiro a relação entre \theta e x é
\sin\theta = \frac{x-m}{r},
portanto
\theta = \arcsin\!\left(\frac{x-m}{r}\right).
Em seguida, escrevemos \sin 2\theta em termos de x:
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta.
Mas \sin\theta=(x-m)/r e \cos\theta=\dfrac{\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}}{r}. Então
\sin 2\theta = 2\cdot\frac{x-m}{r}\cdot\frac{\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}}{r} = \frac{2(x-m)\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}}{r^{2}}.
Multiplicando por r^{2}/4 (o coeficiente que apareceu antes) obtemos
\frac{r^{2}}{4}\sin 2\theta = \frac{r^{2}}{4}\cdot\frac{2(x-m)\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}}{r^{2}} = \frac{1}{2}(x-m)\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}.

Passo 7

Substituindo \theta e o termo com \sin 2\theta na antiderivada obtida no Passo 5, chegamos a
\int \sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}}\,dx = \frac{r^{2}}{2}\,\arcsin\!\left(\frac{x-m}{r}\right) + \frac{1}{2}(x-m)\sqrt{r^{2}-(x-m)^{2}} + C.

Passo 8

Retornando às variáveis a e b, lembrando m=\dfrac{a+b}{2} e r=\dfrac{b-a}{2}, substituímos:
\frac{x-m}{r} = \frac{x-\tfrac{a+b}{2}}{\tfrac{b-a}{2}} = \frac{2x - a - b}{b-a}.
Também
r^{2}-(x-m)^{2} = (x-a)(b-x).
Portanto uma forma conveniente da primitiva é
\int \sqrt{(x-a)(b-x)}\,dx = \frac{(b-a)^{2}}{8}\,\arcsin\!\left(\frac{2x-a-b}{\,b-a\,}\right) + \frac{1}{2}\Big(x-\frac{a+b}{2}\Big)\sqrt{(x-a)(b-x)} + C.

Passo 9

Observações finais e formas alternativas:
  • Pode escrever a função inversa trigonométrica como \operatorname{arccos} se preferir (usando \arcsin u = \tfrac{\pi}{2}-\operatorname{arccos} u), mudando apenas uma constante na primitiva.
  • A escolha da substituição x-m=r\sin\theta foi para aproveitar que (x-a)(b-x) se reduz a r^{2}-(x-m)^{2}, transformando a raiz em r\cos\theta e tornando a integral simples de calcular.

Resposta

\int \sqrt{(x-a)(b-x)}\,dx = \frac{(b-a)^{2}}{8}\,\arcsin\!\left(\frac{2x-a-b}{\,b-a\,}\right) + \frac{1}{2}\Big(x-\frac{a+b}{2}\Big)\sqrt{(x-a)(b-x)} + C.