Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
onde
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função a integrar é a raiz quadrada do produto
. - Não há outras condições (por exemplo limites); trata‑se de uma primitiva indefinida.
- É útil notar que o produto
é negativo fora do intervalo e não negativo dentro de . Para obter uma primitiva real, vamos trabalhar assumindo no intervalo (ou usar continuação complexa fora dele).
Nada mais é solicitado além da antiderivada.
Passo 2
Vamos transformar a expressão dentro da raiz numa forma de diferença de quadrados para facilitar uma substituição trigonométrica. Defina o ponto médio
e o “meio‑comprimento”
Agora escrevemos
em termos de
e
. Primeiro observe que
Multiplicando:
Portanto a integral fica
que é a forma padrão
(com
).
Passo 3
Explico a substituição trigonométrica clássica para integrar
. Definimos
Essa escolha é conveniente porque então
e a raiz fica simples. Também temos diferencial
Para evitar problemas de sinal, podemos escolher
de modo que
e
.
Passo 4
Substituindo na integral:
e
Logo o integrando e o diferencial dão
Portanto a integral transforma‑se em
Passo 5
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica
Assim
Integrando:
Multiplicando por
:
Passo 6
Agora voltamos para a variável
. Primeiro a relação entre
e
é
portanto
Em seguida, escrevemos
em termos de
:
Mas
e
. Então
Multiplicando por
(o coeficiente que apareceu antes) obtemos
Passo 7
Substituindo
e o termo com
na antiderivada obtida no Passo 5, chegamos a
Passo 8
Retornando às variáveis
e
, lembrando
e
, substituímos:
Também
Portanto uma forma conveniente da primitiva é
Passo 9
Observações finais e formas alternativas:
- Pode escrever a função inversa trigonométrica como
se preferir (usando ), mudando apenas uma constante na primitiva. - A escolha da substituição
foi para aproveitar que se reduz a , transformando a raiz em e tornando a integral simples de calcular.