Calcule as seguintes integrais:
integral sen x4+cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de em relação a . Isso é um exercício de Cálculo Integral, onde vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral. Observando o denominador u = 4 + cos x , percebemos que a derivada de é , que está presente no numerador.
Vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial du = -sen x , dx em termos de -du = sen x , dx :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral sen x4 + cos x , dx = integral -duu = -integral duu e -integral duu = -ln|u| + C na integral original, temos:
A integral de em relação a é o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos -ln|4 + cos x| + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de é:
-ln|4 + cos x| + C

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