Calcule as seguintes integrais: integral1^4 integral0^raizx e^yraizx d y d x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla: integral1^4 integral0^raizx e^yraizx , dy , dx. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas, especificamente integrais iteradas onde vamos integrar uma função exponencial. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, ou seja, integral0^raizx e^yraizx , dy. Aqui, tratamos x como uma constante porque estamos integrando em relação a y.

Passo 3

Para integrar e^yraizx em relação a y, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar u = yraizx. Assim, a diferencial du = 1raizx , dy, ou seja, dy = raizx , du.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral e^u cdot raizx , du = raizx integral e^u , du = raizx , e^u + C
Voltando à variável original y, fica:
raizx , e^yraizx + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a raizx:
raizx , e^raizxraizx - raizx , e^0raizx = raizx , e^1 - raizx , e^0 = raizx , e - raizx
Podemos fatorar raizx:
raizx (e - 1)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^4 raizx (e - 1) , dx
Como (e - 1) é uma constante, podemos tirá-la da integral:
(e - 1) integral1^4 raizx , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral integral raizx , dx. Sabemos que raizx = x^1/2, então aplicando a regra de potência:
integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C

Passo 8

Aplicando os limites de 1 a 4:
23 (4)^3/2 - 23 (1)^3/2 = 23 (8) - 23 (1) = 163 - 23 = 143

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator (e - 1):
(e - 1) cdot 143 = 143 (e - 1)

Resposta

O valor da integral dupla é 143 (e - 1).

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