Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função integranda é
. - A constante
é positiva: . - Deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida) em termos de
.
Passo 2
Escolha de substituição (motivo): a expressão
sugere usar uma substituição trigonométrica do tipo
, porque as fórmulas de ângulo metade transformam
numa tangente ou cotangente ao quadrado, o que simplifica a raiz quadrada. Então fazemos a substituição
Calculemos os elementos que mudam:
Agora escrevemos a integranda em função de
. Primeiro note que, com
,
Usamos a identidade de meio ângulo (duas formas equivalentes):
portanto
Assim a raiz fica
Agora substituímos tudo na integral:
Passo 3
Simplificação do integrando em
. Use a identidade
. Então
Logo a integral fica
Escrevendo
pela identidade de redução,
temos
Agora integramos termo a termo usando integrais elementares:
Portanto
Passo 4
Voltar para a variável
. Como
, temos
Além disso,
onde escolheu-se a raiz positiva porque com
(faixa natural para
) a função
é não negativa. Substituindo em
obtemos
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derivando
,
Sabendo que
e
, obtemos
Mas
, que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.