Calcule as seguintes integrais
\int\left(\frac{a+x}{a-x}\right)^{1 / 2} d x, \quad a>0

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{a+x}{a-x}\right)^{1/2}dx, \qquad a>0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função integranda é \left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^{1/2}.
  • A constante a é positiva: a>0.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida) em termos de x.

Passo 2

Escolha de substituição (motivo): a expressão \dfrac{a+x}{a-x} sugere usar uma substituição trigonométrica do tipo x=a\cos\theta, porque as fórmulas de ângulo metade transformam \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} numa tangente ou cotangente ao quadrado, o que simplifica a raiz quadrada. Então fazemos a substituição
x = a\cos\theta.
Calculemos os elementos que mudam:
dx = -a\sin\theta\,d\theta.
Agora escrevemos a integranda em função de \theta. Primeiro note que, com x=a\cos\theta,
\frac{a+x}{a-x}=\frac{a+a\cos\theta}{a-a\cos\theta}=\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}.
Usamos a identidade de meio ângulo (duas formas equivalentes):
1+\cos\theta = 2\cos^{2}\frac{\theta}{2},\qquad 1-\cos\theta = 2\sin^{2}\frac{\theta}{2},
portanto
\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}=\frac{2\cos^{2}\tfrac{\theta}{2}}{2\sin^{2}\tfrac{\theta}{2}}=\cot^{2}\frac{\theta}{2}.
Assim a raiz fica
\left(\frac{a+x}{a-x}\right)^{1/2}=\cot\frac{\theta}{2}.
Agora substituímos tudo na integral:
\int\left(\frac{a+x}{a-x}\right)^{1/2}dx =\int \cot\frac{\theta}{2}\,(-a\sin\theta)\,d\theta.

Passo 3

Simplificação do integrando em \theta. Use a identidade \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}. Então
\cot\frac{\theta}{2}\cdot\sin\theta =\cot\frac{\theta}{2}\cdot 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} =2\cos^{2}\frac{\theta}{2}.
Logo a integral fica
\int \cot\frac{\theta}{2}\,(-a\sin\theta)\,d\theta =-a\int 2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\,d\theta.
Escrevendo \cos^{2}\frac{\theta}{2} pela identidade de redução,
\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2},
temos
- a\int 2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\,d\theta =-a\int (1+\cos\theta)\,d\theta.
Agora integramos termo a termo usando integrais elementares:
\int (1+\cos\theta)\,d\theta = \theta + \sin\theta + C.
Portanto
- a\int (1+\cos\theta)\,d\theta = -a\theta - a\sin\theta + C.

Passo 4

Voltar para a variável x. Como x=a\cos\theta, temos
\theta=\operatorname{arccos}\frac{x}{a}.
Além disso,
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a},
onde escolheu-se a raiz positiva porque com \theta\in[0,\pi] (faixa natural para \operatorname{arccos}) a função \sin\theta é não negativa. Substituindo em -a\theta-a\sin\theta obtemos
-a\theta-a\sin\theta = -a\operatorname{arccos}\frac{x}{a} - a\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} = -a\operatorname{arccos}\frac{x}{a} - \sqrt{a^{2}-x^{2}}.
Portanto uma primitiva é
F(x)= -a\operatorname{arccos}\frac{x}{a} - \sqrt{a^{2}-x^{2}} + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derivando F(x),
F'(x)= -a\cdot\frac{d}{dx}\left(\operatorname{arccos}\frac{x}{a}\right)-\frac{d}{dx}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right).
Sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{arccos} u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}} e \dfrac{d}{dx}\sqrt{a^{2}-x^{2}} = -\dfrac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}, obtemos
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^{2}}}+\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} =\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}+\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} =\frac{a+x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.
Mas \dfrac{a+x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\dfrac{a+x}{\sqrt{(a+x)(a-x)}}=\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}, que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-a\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C