Calcule as seguintes integrais:
\int\left(\frac{1}{z^{3}}-\frac{3}{z^{2}}\right) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{z^{3}}-\frac{3}{z^{2}}\right)\,dz.
Informações importantes fornecidas:
  • A variável de integração é z.
  • A integral é indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
  • O integrando é a diferença de duas funções racionais em z: \dfrac{1}{z^{3}} e \dfrac{3}{z^{2}}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever os termos com potências, para aplicar a regra de potência.
\frac{1}{z^{3}} = z^{-3},\qquad \frac{3}{z^{2}} = 3z^{-2}.
Assim a integral fica
\int\left(z^{-3}-3z^{-2}\right)\,dz.

Passo 3

Lembrete da regra que vamos usar (regra da potência para integrais):
\int z^{n}\,dz = \frac{z^{n+1}}{n+1}+C,\quad\text{válido para }n\neq -1.á
Explicação rápida: ao integrar z^{n} soma-se 1 ao expoente (ficando n+1) e divide-se pelo novo expoente. O caso n=-1 é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a integral é \int z^{-1}\,dz=\ln|z|+C.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo ao primeiro termo:
\int z^{-3}\,dz = \frac{z^{-3+1}}{-3+1}+C_1 = \frac{z^{-2}}{-2}+C_1.
Reescrevendo em forma racional:
\frac{z^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}z^{-2} = -\frac{1}{2z^{2}}.

Passo 5

Agora o segundo termo. Primeiro integrar z^{-2}:
\int z^{-2}\,dz = \frac{z^{-2+1}}{-2+1}+C_2 = \frac{z^{-1}}{-1}+C_2 = -z^{-1}+C_2.
Como no integrando a esse termo há um fator -3, temos
-3\int z^{-2}\,dz = -3\bigl(-z^{-1}\bigr) = 3z^{-1} = \frac{3}{z}.

Passo 6

Somando os resultados parciais (e juntando as constantes em uma única constante C):
\int\left(z^{-3}-3z^{-2}\right)\,dz = -\frac{1}{2z^{2}}+\frac{3}{z}+C.
Verificação rápida (só para ganhar confiança): derivando -\tfrac{1}{2}z^{-2}+\!3z^{-1} obtém-se z^{-3}-3z^{-2}, que é exatamente o integrando; portanto o resultado está correto.

Resposta

-\frac{1}{2z^{2}}+\frac{3}{z}+C