Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integraly^2^4 raizx sen x d x) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^2(integraly^2^4 raizx sin x , dx) dy
Vou te mostrar passo a passo como fazer isso de um jeito tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Aqui, varia de 0 a 2 e, para cada , varia de a 4. Então, o domínio é todo o espaço onde e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar essa região no plano . A curva é uma parábola que abre para a direita. Sabendo que vai até 2, o máximo será . Assim, a região está limitada entre a parábola e a linha vertical .

Passo 4

Para mudar a ordem de integração, precisamos expressar integral0^4(integral0^raizx dy) raizx sin x , dx em termos de . Observando a região:
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada , varia de 0 a (já que é a inversa de ).
Então, a integral vira:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^raizx dy = raizx - 0 = raizx
Substituindo na integral principal:
integral0^4 raizx sin x cdot raizx , dx = integral0^4 x sin x , dx
Agora, vamos resolver integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x usando integração por partes. Seja:
  • [ -4 cos 4 + sin 4 ] - [ -0 cos 0 + sin 0 ] = -4 cos 4 + sin 4 então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Agora, avaliamos de 0 a 4:

Resposta

A integral vale .

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