Calcule as seguintes integrais de superfície, onde S está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
integralS x d y d z+y d x d y, onde S=partial([0,1] times[0,1] times[0,1]).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral integralS x , dy , dz + y , dx , dy, onde S é a superfície que envolve o cubo unitário [0,1] times [0,1] times [0,1]. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes generalizado para integrais de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo integrado. A expressão x , dy , dz + y , dx , dy é uma forma diferencial de 2ª ordem. Para integrar isso sobre a superfície S, podemos usar uma versão do Teorema de Stokes que relaciona a integral de uma forma diferencial sobre uma superfície com a integral de sua derivada sobre o volume limitado por essa superfície.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
integralS omega = integralV domega
onde omega = x , dy , dz + y , dx , dy e V é o volume do cubo unitário.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada exterior de omega, ou seja, domega. Vamos fazer isso termo a termo:
d(x , dy , dz) = dx wed>= dy wed>= dz
d(y , dx , dy) = dy wed>= dx wed>= dy = 0
Porque dy wed>= dy = 0, já que a derivada exterior de uma forma consigo mesma é zero.

Passo 5

Portanto, a derivada exterior total é:
domega = dx wed>= dy wed>= dz
Agora, a integral sobre o volume V é simplesmente:
integralV dx , dy , dz

Passo 6

Essa integral representa o volume do cubo unitário, que é:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 dx , dy , dz = 1

Resposta

O valor da integral de superfície é 1.

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