Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral d xraizx(1+raizx)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral usando o método de substituição. Isso está na área de Cálculo Integral, mais especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, a gente vai precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a expressão e facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral: . Parece bem complicado, né? Então, vamos tentar simplificar isso com uma substituição inteligente. Uma boa estratégia aqui é escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável.

Passo 3

Vamos definir du = 12raizx dx . Isso vai ajudar a simplificar o denominador. Agora, precisamos achar dudx = 12raizx em termos de dx = 2raizx , du para fazer a substituição completa.
Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que:
Logo,

Passo 4

Agora, vamos substituir integral dxraizx(1+raizx)^3 = integral 2raizx , duraizx cdot u^3 = integral 2 , duu^3 e na integral original:
Perceba que cancelou, deixando a expressão mais simples: .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C . A regra de integração para 2 integral u^-3 du = 2 cdot ( u^-2-2 ) + C = -u^-2 + C = -1u^2 + C onde é:
Aplicando isso:

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição -1u^2 + C = -1(1 + raizx)^2 + C , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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