Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis onde é dado por e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Vamos usar a técnica de mudança de variáveis para simplificar essa integral. Para isso, precisamos escolher substituições que tornem a expressão mais fácil de integrar e calcular o Jacobian da transformação.
Passo 2
Vamos escolher novas variáveis e de forma que simplifiquem a expressão . Observando a expressão, uma boa substituição é:
Essas escolhas podem simplificar tanto a parte algébrica quanto a exponencial da integral.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . A partir das substituições:
Igualando as duas expressões para :
Substituindo em :
Passo 4
Precisamos calcular o Jacobian dessa transformação, que é a determinante da matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 12 ( 1v u )^1/2
partial xpartial v = -12 ( uv^3 )^1/2
partial ypartial u = 12 ( vu )^1/2
partial ypartial v = 12 ( uv )^1/2
Calculando o determinante:
J = 12 ( 1v u )^1/2 cdot 12 ( uv )^1/2 - (-12 ( uv^3 )^1/2) cdot 12 ( vu )^1/2 = 12 v
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaB raizyx e^raizx y , dx , dy = integral duplaB' raizv e^raizu cdot 12 v , du , dv = 12 integral duplaB' raizvv e^raizu , du , dv = 12 integral duplaB' 1raizv e^raizu , du , dv e 12 integral duplaB' v^-1/2 e^u^1/2 , du , dv :
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos definir a nova região de integração 1y <= x <= y e 1 <= y <= 2 em termos de 1y <= x <= y Rightarrow 1y <= raizuv <= y e 1 <= y <= 2 Rightarrow 1 <= raizu v <= 2 Rightarrow 1 <= u v <= 4 . Originalmente, temos:
1 <= u v <= 4
Com u >= 0, v >= 0 e , os limites transformam-se em:
E:
Estabelecendo os novos limites para e :
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a 12 integralu=0^infty integralv=1u^4u v^-1/2 e^raizu , dv , du e depois em relação a integral v^-1/2 , dv = 2 v^1/2 . A integral fica: