Calcule as seguintes integrais usando mudança de variáveis integral duplaB raizyx e^raizx y d x d y onde B é dado por 1 / y <= x <= y e 1 <= y <= 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Vamos usar a técnica de mudança de variáveis para simplificar essa integral. Para isso, precisamos escolher substituições que tornem a expressão mais fácil de integrar e calcular o Jacobian da transformação.

Passo 2

Vamos escolher novas variáveis u = x y e v = yx de forma que simplifiquem a expressão . Observando a expressão, uma boa substituição é:
Essas escolhas podem simplificar tanto a parte algébrica quanto a exponencial da integral.

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = x y Rightarrow y = ux e v = yx Rightarrow y = v x em termos de ux = v x Rightarrow u = v x^2 Rightarrow x = raizuv e y = v raizuv = raizu v . A partir das substituições:
Igualando as duas expressões para :
Substituindo em :

Passo 4

Precisamos calcular o Jacobian dessa transformação, que é a determinante da matriz das derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 12 ( 1v u )^1/2
partial xpartial v = -12 ( uv^3 )^1/2
partial ypartial u = 12 ( vu )^1/2
partial ypartial v = 12 ( uv )^1/2
Calculando o determinante:
J = 12 ( 1v u )^1/2 cdot 12 ( uv )^1/2 - (-12 ( uv^3 )^1/2) cdot 12 ( vu )^1/2 = 12 v

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaB raizyx e^raizx y , dx , dy = integral duplaB' raizv e^raizu cdot 12 v , du , dv = 12 integral duplaB' raizvv e^raizu , du , dv = 12 integral duplaB' 1raizv e^raizu , du , dv e 12 integral duplaB' v^-1/2 e^u^1/2 , du , dv :
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos definir a nova região de integração 1y <= x <= y e 1 <= y <= 2 em termos de 1y <= x <= y Rightarrow 1y <= raizuv <= y e 1 <= y <= 2 Rightarrow 1 <= raizu v <= 2 Rightarrow 1 <= u v <= 4 . Originalmente, temos:
1 <= u v <= 4
Com u >= 0, v >= 0 e , os limites transformam-se em:
E:
Estabelecendo os novos limites para e :

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a 12 integralu=0^infty integralv=1u^4u v^-1/2 e^raizu , dv , du e depois em relação a integral v^-1/2 , dv = 2 v^1/2 . A integral fica:
2 ( (4u)^1/2 - (1u)^1/2 ) = 2 ( 2raizu - 1raizu ) = 2raizu
Resolvendo a integral interna em 12 integralu=0^infty 2raizu e^raizu , du = integral0^infty u^-1/2 e^raizu , du :
integral0^infty t^-1 e^t cdot 2 t , dt = 2 integral0^infty e^t , dt = 2 [e^t]0^infty
Aplicando os limites:
Agora, a integral fica:
Fazendo a substituição :
No entanto, tende ao infinito quando tende ao infinito, o que indica que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não possui um valor finito.

Exercícios relacionados