Calcule os seguintes limites: (b) lim x 0 x^2 e^xsen^2(3 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento das funções exponencial e seno perto de zero e usar algumas aproximações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 0^2 cdot e^0sen^2(0) = 0 cdot 10 = 00 diretamente na expressão:
Esse é um caso indeterminado, ou seja, não conseguimos concluir o limite dessa forma. Então, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos lembrar de duas aproximações úteis quando x^2 e^xsen^2(3 x) approx x^2 (1 + x)(3x)^2 = x^2 + x^39x^2 está perto de zero:
Aplicando essas aproximações na nossa expressão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração:
x^2 + x^39x^2 = x^2(1 + x)9x^2 = 1 + x9

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite quando lim x 0 1 + x9 = 1 + 09 = 19 tende a zero:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados