Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
lim x 0^+ x ln x

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 0^+ x ln x. Esse problema pertence ao estudo de limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver esse limite, precisamos entender como as funções x e ln x se comportam quando x se aproxima de 0 pela direita. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão conforme x se aproxima de 0 pelo lado positivo:
  • A função x tende a 0.
  • A função ln x tende a -infty porque o logaritmo natural de números próximos de 0 é negativo e se torna muito grande em valor absoluto.
Então, temos uma forma do tipo 0 times (-infty), que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar as regras de limites.

Passo 3

Vamos reescrever o limite da seguinte maneira:
limx 0^+ x ln x = limx 0^+ ln x1/x
Agora, temos uma forma -infty+infty, que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • Derivada de ln x em relação a x é 1x.
  • Derivada de 1x em relação a x é -1x^2.
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx 0^+ ln x1/x = limx 0^+ 1x-1x^2 = limx 0^+ -x = 0

Resposta

Portanto, o limite limx 0^+ x ln x é igual a 0.

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