Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema pertence ao estudo de limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver esse limite, precisamos entender como as funções
e
se comportam quando
se aproxima de 0 pela direita. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo:
- A função
tende a 0. - A função
tende a porque o logaritmo natural de números próximos de 0 é negativo e se torna muito grande em valor absoluto.
Então, temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar as regras de limites.
Passo 3
Vamos reescrever o limite da seguinte maneira:
Agora, temos uma forma
, que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Calculando as derivadas:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Resposta
Portanto, o limite
é igual a 0.