Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é a soma de duas funções de
: e . - O ponto de interesse é
aproximando-se de pela direita (ou seja, e ).
Passo 2
Vamos identificar o comportamento individual de cada termo quando
.
- Para
: é uma função contínua e não-negativa. Quando temos
Isto é intuitivo: quadrando um número que fica cada vez menor, o resultado tende a zero.
- Para
: uma propriedade básica do logaritmo natural é que ele tende a quando se aproxima de pela direita. Uma maneira rápida de ver isso é fazer a substituição com . Então
e como
quando
, segue que
Passo 3
Agora precisamos combinar os dois comportamentos para a soma
. Intuitivamente, se um dos termos tende a
e o outro tende a um número finito (
no caso), a soma tende a
. Vou mostrar isso de forma rigorosa e simples.
Propriedade usada (explicada): se
quando
e
quando
, então
. A razão é que
fica arbitrariamente negativo perto de
, e somar um número que tende a um valor finito não evita que o total continue indo para
.
Passo 4
Vamos montar uma demonstração \emph{épsilon-estilo} adaptada para divergência para
. Precisamos mostrar: para todo número real
existe
tal que, para
, temos
Como
, para o valor real
existe
tal que, para todo
,
Além disso, se tomarmos
então para
vale
. Agora escolha
Para
temos simultaneamente
e
. Somando as duas desigualdades:
Isso prova que, para qualquer
real, podemos encontrar
que garante
para
. Essa é exatamente a definição de dizer que
quando
.
Passo 5
Conclusão lógica a partir do passo anterior: a soma
diverge para
quando
tende a
pela direita. A ideia prática: o termo
vai a
muito mais rápido (no sentido de divergência) do que
se aproxima de
, então o comportamento dominante é o do
, que “puxa” a soma para
.