Calcule os seguintes limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+\ln x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \bigl(x^{2} + \ln x\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a soma de duas funções de x: x^{2} e \ln x.
  • O ponto de interesse é x aproximando-se de 0 pela direita (ou seja, x>0 e x\to 0).

Passo 2

Vamos identificar o comportamento individual de cada termo quando x\to 0^{+}.
  • Para x^{2}: é uma função contínua e não-negativa. Quando x\to 0^{+} temos
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2} = 0.
Isto é intuitivo: quadrando um número que fica cada vez menor, o resultado tende a zero.
  • Para \ln x: uma propriedade básica do logaritmo natural é que ele tende a -\infty quando x se aproxima de 0 pela direita. Uma maneira rápida de ver isso é fazer a substituição x=\tfrac{1}{t} com t\to +\infty. Então
\ln x = \ln\!\left(\tfrac{1}{t}\right) = -\ln t,
e como \ln t\to +\infty quando t\to +\infty, segue que
\lim_{x\to 0^{+}} \ln x = -\infty.

Passo 3

Agora precisamos combinar os dois comportamentos para a soma x^{2}+\ln x. Intuitivamente, se um dos termos tende a -\infty e o outro tende a um número finito ( 0 no caso), a soma tende a -\infty. Vou mostrar isso de forma rigorosa e simples.
Propriedade usada (explicada): se f(x)\to -\infty quando x\to a e g(x)\to L\in\mathbb{R} quando x\to a, então f(x)+g(x)\to -\infty. A razão é que f(x) fica arbitrariamente negativo perto de a, e somar um número que tende a um valor finito não evita que o total continue indo para -\infty.

Passo 4

Vamos montar uma demonstração \emph{épsilon-estilo} adaptada para divergência para -\infty. Precisamos mostrar: para todo número real \,A existe \delta>0 tal que, para 0<x<\delta, temos
x^{2}+\ln x < A.
Como \lim_{x\to 0^{+}}\ln x = -\infty, para o valor real B = A-1 existe \delta_{1}>0 tal que, para todo 0<x<\delta_{1},
\ln x < B = A-1.
Além disso, se tomarmos \delta_{2}=1 então para 0<x<\delta_{2} vale x^{2}<1. Agora escolha
\delta = \min\{\delta_{1},\delta_{2}\}.
Para 0<x<\delta temos simultaneamente \ln x < A-1 e x^{2}<1. Somando as duas desigualdades:
x^{2}+\ln x < 1 + (A-1) = A.
Isso prova que, para qualquer A real, podemos encontrar \delta>0 que garante x^{2}+\ln x < A para 0<x<\delta. Essa é exatamente a definição de dizer que x^{2}+\ln x\to -\infty quando x\to 0^{+}.

Passo 5

Conclusão lógica a partir do passo anterior: a soma x^{2}+\ln x diverge para -\infty quando x tende a 0 pela direita. A ideia prática: o termo \ln x vai a -\infty muito mais rápido (no sentido de divergência) do que x^{2} se aproxima de 0, então o comportamento dominante é o do \ln x, que “puxa” a soma para -\infty.

Resposta

-\infty

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